Mostrando que $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n-\alpha)^2}=\pi^2\csc \pi \alpha \cot \pi \alpha$

Question

Estoy tratando de mostrar que $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n-\alpha)^2}=\pi^2\csc \pi \alpha \cot \pi \alpha$$0<\alpha<1$. El método que me decidí a utilizar es de contorno (plaza) integral y el teorema de los residuos.

El progreso

Me di cuenta de que $f(z)=\frac{1}{z^2\sin\pi(z+\alpha)}$ tiene polos en $z=0, k-\alpha, k\in \mathbb{Z}$ con residuos de $$\mbox{res}(f(z);0)=-\pi \cot (\pi \alpha) \csc( \pi \alpha) \\ \mbox{res}(f(z);k-\alpha)=\frac{(-1)^k}{\pi(k-\alpha)^2}$$ which one can obtain by simply calculating. So then I considered a path $\Gamma_N$ defined by a square with vertices at $N(1, i), N(1, -1), N(-1, i), N(-1, -i)$, $N \in \mathbb{N}$. So if we let $a_k$ be the list of poles of $f$ inside the region formed by $\Gamma_N$, por el teorema de los residuos, obtenemos:

$$\begin{align*} \oint_{\Gamma_N}f(z)dz &= 2\pi i\sum_{a_i} \mbox{res}(f(z);a_k) \\ &= 2\pi i \left[ -\pi \cot (\pi \alpha) \csc( \pi \alpha)+\sum_{n=-N+1}^N \frac{(-1)^n}{\pi(n-\alpha)^2}\right] \\ &\to 2\pi i \left[ -\pi \cot (\pi \alpha) \csc( \pi \alpha)+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\pi(n-\alpha)^2}\right] \end{align*}$$

Ahora, suponiendo $\oint_{\Gamma_N}f(z)dz \to 0$, obtenemos $$0=-\pi \cot (\pi \alpha) \csc( \pi \alpha)+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\pi(n-\alpha)^2}$$ y, a continuación, hemos terminado.

Pero no me parecen probar que $\oint_{\Gamma_N}f(z)dz \to 0$. Estoy bastante seguro de que la Estimación Lema es utilizado aquí, pero no estoy seguro de cómo ir sobre ella. Es esto cierto? ¿Hay otras maneras de probarlo?

Answer 1

En $(3)$ de esta respuesta, se muestra que $$ \sum{k\in\mathbb{Z}}\frac {(-1) ^ k} {k + z} = \pi\csc(\pi z)\tag {1} $$Substituting $z\mapsto-z$ $(1)$ y tomando los rendimientos derivados$$ \sum{k\in\mathbb{Z}}\frac {(-1) ^ k} {(k-z) ^ 2} = \pi^2\csc(\pi z)\cot \tag (\pi z) {2} $

Answer 2

Sugerencia: Puede utilizar una función análoga $$f(z) = \frac{\csc(\pi z)}{(z-a)^2}$$ integrate around the square $\Gamma_N$ with vertices $\pm N \pm Ni$, where $$ N es la mitad de un entero. En cuanto a la cuestión de la desaparición de la integral, de probar lo siguiente:

$\csc(z)$ es uniformemente acotada en $\Gamma_N$

Puesto que el denominador es de $O(1/z^2)$, esto muestra la integral tiende a 0.

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El siguiente resultado es también muy útil en el residuo suma, no son difíciles de probar.

$\csc(z), \cot(z)$ son uniformemente acotadas en $\Gamma_N$ $N$ la mitad entero.

$\tan(z), \sec(z)$ son uniformemente acotadas en $\Gamma_N$ $N$ entero.