Elija valores iniciales tales que la secuencia tiene siempre valores enteros

Question

Se nos da una recurrencia de la relación definida por $$x_{n+2}=\frac{x_{n+1}x_n}{2x_n-x_{n+1}}.$$ Lugar necesarias y suficientes valores en $x_0$ $x_1$ tal que $x_n$ es un número entero para todos los enteros positivos valores de $n$.

Hay dos evidente condiciones para empezar, que $2x_0-x_1\not=0$,$2x_0-x_1 \mid x_1x_0$.

Pero sé que no son lo suficientemente buenas, desde la elección de $x_0=-10$, $x_1=5$, llegamos $x_2=2$, pero $x_3=\frac{10}{8}$.

Estoy, obviamente, le falta algo(s), pero no sé qué hacer para encontrar a los de otras condiciones. He tratado de encontrar a $x_n$ en términos de $n$, sin éxito.

Answer 1

Por inducción, $$ x_{n} = \dfrac{x_0 x_1}{n x_0 - (n-1) x_1} = \dfrac{x_0 x_1}{x_0 + (n-1) (x_0 - x_1)}

Si $x_0 \ne x_1$, la única forma que esto puede ser un entero para todas las $n$ es que $x_0 x_1 = 0$, es decir, $x_0 = 0$o $x_1 = 0$.

Si $x_0 = x_1 \ne 0$, siempre es un número entero, es decir, $x_1$.

Answer 2

He encontrado la siguiente condición:

Para todos los enteros positivos $k$, hay un $r$

y un elemento $(x_0,x_1)$ del conjunto de $M_k = \{(x_0,x_1) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} :(k+1)x_0 = k x_1\}$,

tal que $x_r$ es racional.

Prueba:

Inducción da para ese tipo de elemento $(x_0,x_1)$ $$x_r = \frac{(k+1)x_0}{k-r+1}.$$

Caso Base: sigue trivialmente de $(k+1)x_0 = k x_1$.

Inducción Paso: $$x_{i+1} = \frac{x_r x_{i-1}}{2x_{i-1} - x_r} = \frac{\frac{(k+1)x_0}{(k-r+1)} \frac{(k+1)x_0}{(k-(r-1)+1)}}{2\frac{(k+1)x_0}{(k-(r-1)+1)} - \frac{(k+1)x_0}{(k-r+1)}} = \frac{\frac{1}{(k-r+1)} \frac{1}{(k-(r-1)+1)}}{\frac{2}{(k-(r-1)+1)} - \frac{1}{(k-r+1)}} (k+1)x_0\\ = \frac{\frac{1}{(k-r+1)} \frac{1}{(k-(r-1)+1)}}{\frac{2(k-r+1)-(k-(r-1)+1)}{(k-r+1)(k-(r-1)+1)}} (k+1)x_0 = \frac{(k+1)x_0}{2(k-r+1)-(k-(r-1)+1)} = \frac{(k+1)x_0}{k-(r+1)+1}.$$

Ahora elija $x_0,k,r$ adecuadamente a hacer $x_r$ racional.