Ayuda para encontrar la región donde la función tiene una antiderivada ...

Question

Tengo problemas para encontrar la región en la que$f(z) = \exp(1/z)$ tiene una antiderivada, al hacer esta región tan grande como pueda. Y quiero saber cómo se comparará eso con la función real$f(x) = \exp(1/x)$.

Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

Su función tiene una Laurent de la serie $$e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!},\;\;\; 0 < |z| < \infty.$$ Se puede ver que $g(z)=e^{1/z}-1/z$ tiene un anti-derivado $h$$\mathbb{C}\setminus\{0\}$, donde $$h(z) = z - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^{n+1}}{(n-1)n!}.$$ Por lo $e^{1/z}$ tiene una antiderivada $k(z)$ en algunos región $\Omega\subseteq\mathbb{C}\setminus\{0\}$ fib $1/z$. Esto es debido a que $k'(z)-h'(z)=(e^{1/z})-(e^{1/z}-1/z)=1/z$ debe mantener en $\Omega$ cualquier $k$. Así el problema se reduce a encontrar una región en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ donde hay una analítica logaritmo.

Modificar $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ mediante la eliminación de una hendidura o una curva de $0$ $\infty$de tal manera que el resultado de abrir la región de $\Omega$ es simplemente conectado. A continuación, $e^{1/z}$ tiene una antiderivada $a$, la cual es única hasta una constante aditiva. Asumiendo $1\in\Omega$, y la elección de $a(1)=0$, luego $$a(z) = \int_{C_{z}}e^{1/n}\,dw,$$ donde $C_{z}$ es un simple camino de $0$ $z$que se mantiene en $\Omega$. Esta función $a$ va a ser real en todo el eje real positivo, a menos que el eje real cruza el límite de $\Omega$ (usted puede elegir no en línea recta curvas para cortes de ramas.) Cuando se mira el valor de $a(-1)$, entonces el camino de $C_{-1}$ círculo de el origen de las agujas del reloj o en sentido antihorario camino de$1$$-1$. A continuación, $a(-1)-a(-r)$ será real para todos los $r > 0$ menos que la rama cruza el eje real negativo. El valor de $a(-1)-a(1)$ es $$\int_{0}^{\pm\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{- \theta}}{n!}ie^{i\theta}\,d\theta = \pm\pi i +\sum_{n=0\; n\ne 1)}^{\infty}\frac{e^{\pm i(1-n)\pi}-1}{(1-n)n!}=\pm\pi i +\sum_{n=0\; n\ne 1)}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}-1}{(1-n)n!}.$$ Por lo $a(-1)-a(1)=\pm\pi i+r$ donde $r$ es el mismo número real para ambos casos ($\pm$). Así que la antiderivada en lo positivo y negativo de la real ejes son fácilmente relacionado con la costumbre real antiderivatives en lo positivo y negativo de la real ejes; sin embargo, la antiderivada en el eje real negativo para $e^{1/z}$ está relacionado con que en el eje real positivo, con una relación que depende del tipo de rama de corte que se elija (Nota: la integral de la definición de la antiderivada técnicamente no existe en todo el eje real, donde la rama de corte cruces.)