Dimensión de recuento de cajas con resolución finita

Question

1. ¿El método para determinar la dimensión de una forma a través de la dimensión de Box-Counting (dimensión de Minkowski-Bouligand) tiene que realizarse en fractales (objetos que tienen el mismo aspecto a todas las escalas), o puede realizarse en cualquier forma? El ejemplo de la línea de costa parece sugerir que el método puede utilizarse para determinar la dimensión de cualquier forma (ya que las líneas de costa no son autosimilares a todos los aumentos), pero todo lo que he visto hasta ahora menciona explícitamente el método de recuento de cajas como herramienta para determinar la dimensionalidad de los fractales.

2. ¿Debo enviar necesariamente el límite del tamaño de las cajas pequeñas que cubren la forma a 0? Me interesa determinar la dimensión (observada) de un objeto dada una resolución finita. (Por ejemplo: a baja resolución, un ovillo de hilo parecerá 3D, pero a alta resolución, el ovillo de hilo es intrínsecamente 1D). Mi inclinación es que si estoy limitado por una determinada resolución, la dimensionalidad (observada) del objeto puede ser una cantidad corrida, pero no encuentro nada sobre la cuestión en un sentido u otro.

Answer 1

Para completar, la dimensión de la caja de un conjunto acotado $E$ se define por $$\dim(E) = \lim_{\varepsilon\rightarrow0} \frac{\log(N_{\varepsilon}(E))}{\log(1/\varepsilon)},$$ donde $N_{\varepsilon}(E)$ representa el número de $\varepsilon$ cajas de malla (o cuadrados o intervalos, según la dimensión del espacio ambiental) que se cruzan $E$ .

1. Sin embargo, existen diversas variaciones de la definición anterior. Por ejemplo, $N_{\varepsilon}(E)$ podría definirse como el número mínimo de bolas de radio $\varepsilon$ necesario para cubrir $E$ o el número máximo de bolas disjuntas de radio $\varepsilon$ con centros en $E$ . Hay otras alternativas, pero todas están dentro de un factor multiplicativo entre sí y, utilizando las propiedades del logaritmo, no es difícil demostrar que todas dan el mismo valor del límite, si ese límite existe.

   Sin embargo, ese límite podría no existir. Por lo tanto, la respuesta correcta a tu primera pregunta es que la idea básica de la dimensión del recuento de cajas puede aplicarse a cualquier conjunto acotado, pero puede dar o no un resultado. Una generalización es sustituir el límite por un límite superior o límite inferior . Esto da lugar a dos nuevas definiciones de dimensión: la superior dimensión del recuento de cajas y la baja dimensión del recuento de cajas. Estas dos están bien definidas para cualquier conjunto acotado y la dimensión (no cualificada) de recuento de cajas está bien definida precisamente cuando las dimensiones superior e inferior son iguales.

2. Como señalas, puede ser difícil estimar la dimensión del recuento de cajas en ejemplos del mundo real, ya que normalmente sólo tenemos el valor de $N_{\varepsilon}(E)$ para un número finito de valores de $\varepsilon$ y ciertamente no podemos calcularla para $\varepsilon=0$ . Además, cuando se trata de ejemplos del "mundo real", por lo que sabemos, la idea de contar cajas se rompe a nivel subatómico.

   La interpretación estándar en la literatura de física, según entiendo, es suponer que la relación entre $N_{\varepsilon}(E)$ y $\varepsilon$ debe mantenerse en una amplia gama de valores. Una forma estándar de calcular la dimensión del recuento de cajas es calcular $N_{\varepsilon_k}(E)$ para algunos términos $\varepsilon_k$ elegido de una secuencia que tiende geométricamente a cero. A continuación, ajustamos una línea a los puntos en un gráfico logarítmico de $N_{\varepsilon}(E)$ frente a $\varepsilon$ . La dimensión del recuento de cajas debe ser aproximadamente la pendiente negativa de esa línea.

Answer 2

1. Se puede calcular la dimensión de recuento de cajas para cualquier subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$ (para conjuntos no limitados, por ejemplo, una línea, no funciona tan bien). Para los conjuntos no fractales, el resultado coincide con otros conceptos de dimensión (dimensión de un espacio vectorial, dimensión de un colector). Por ejemplo, un segmento de línea tiene la dimensión $1$ porque está cubierto por $\lceil \epsilon^{-1}\rceil$ intervalos de longitud $\epsilon$ .

2. Es es vale la pena considerar el comportamiento de los conjuntos en escala finita, aunque esto se aleja de la teoría de la medida y se acerca a la geometría computacional. En concreto, si $N(\epsilon)$ es el tamaño de un mínimo $\epsilon$ -red, se puede pensar en $d(\epsilon) = -\log N(\epsilon)/\log \epsilon$ como "dimensión a escala $\epsilon$ ". Ver $\epsilon$ -red en Wikipedia como punto de partida; si se busca este término, aparecen algunos artículos relevantes. Una pregunta natural es: ¿qué hay que hacer con esta "dimensión dependiente de la escala" además de señalarla?