Problema
Supongamos $\theta>1$ es un irracional algebraico entero, es decir, $\theta\not\in\mathbb Z$ pero satisface una monic polinomio con coeficientes enteros, y $\{a_n\}_{n\ge0}$ es una secuencia de cero racional de los números enteros, es decir,$0\neq a_n\in\mathbb Z$. Es cierto que hay una constante $C>1$ independiente de $\theta$ y la elección de $\{a_n\}$ tal que $a_0^2+\sum_{n>0}(a_n-\theta a_{n-1})^2\ge C$?
Discusión
Es un resultado necesario para la estimación de las raíces de un monic polinomio. Supongamos que la suma de $\sum_{n>0}(a_n-\theta a_{n-1})^2$ converge, entonces $a_n/a_{n-1}$ es un Diophantine aproximación de $\theta$, así que tal vez una caracterización de la velocidad de Diophantine aproximación de trabajo.
Y tal vez la condición de que $\theta$ es un entero algebraico es irrelevante. Quiero decir, tal vez tenga para cada número irracional $\theta>1$.
Alguna idea? Gracias!
EDITAR
Como Robert Israel señaló, la versión original, tal como fue escrito, $\sum_n(a_n-\theta a_{n-1})^2\ge C$ es malo (que no era un error tipográfico, pero mi falta de comprensión del problema), para$a_j=F_{n+j}$$\theta=(1+\sqrt 5)/2$. He editado de una forma más cercana a donde surge.
