¿Cómo llamamos al covector asociado a un vector?

Question

Sea $V$ un espacio de producto interno. Escribamos $V^*$ para denotar ya sea el dual algebraico, o bien el dual continuo. En cualquier caso, para cada vector $v \in V$, obtenemos un covector $v^c \in V^*$ dado por:

$$v^c = \langle v,-\rangle$$

Pregunta. ¿Cómo llamamos al [qué] de $v$?

Answer 1

Al igual que @Lærne, $v^c$ es el dual de $v$. Si deseas una referencia, ¿qué tal si consultas "Espacios vectoriales de dimensión finita" de Halmos? En la segunda edición, las secciones 13, 14 y 15 junto con las secciones 67, 68 y 69 podrían ser lo que estás buscando.

Answer 2

$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$ $\renewcommand{bra}[1]{\langle#1|}$ Existen varios términos comunes:

• Como podrás imaginar basándote en el hecho de que $V^*$ es llamado el "dual" de $V$, en matemáticas y física matemática el covector de un vector $v$ es llamado el "dual" de $v$.

• En física, a menudo los vectores son denotados por ejemplo como $\ket{v}$. La $v$ es una etiqueta que nombra al vector. En otras palabras, $\ket{v}$ es como $\vec{v}$. El covector asociado se denota $\bra{v}$. La notación está justificada por el hecho de que si alineas el covector y el vector obtienes $$ \bra{v}v\rangle$$ que es el símbolo usual de un producto interno. El símbolo $\ket{\cdot}$ es llamado un "ket" y el $\bra{\cdot}$ es llamado un "bra" por lo que al alinearlos para hacer un producto interno obtienes "braket". En este sistema, la asociación entre el vector y el covector asociado se expresa usando la misma etiqueta, $v$, en el símbolo ket o bra. En el lenguaje hablado simplemente llamamos a $\bra{v}$ "bra $v$", en contraposición a "ket $v$". Creo que muchas personas aún dirían "$\bra{v}$ es el dual de $\ket{v}$".

• Mencionaste los espacios de producto interno. De hecho, la función de producto interno $\bra \cdot \cdot \rangle$ puede ser pensada como un tensor de rango-2: cuando le das dos vectores arroja un escalar. Este tensor puede ser denotado en notación de índices como $g^{\alpha \beta}$. El producto interno de dos vectores $U_\alpha$ y $V_\beta$ se escribe $$\bra{U}V\rangle = g^{\alpha\beta} U_\alpha V_\beta \tag{1}$$ donde la coincidencia de índices indica contracción. Los índices superiores son llamados índices de "covector" porque indican la necesidad de consumir un vector para producir un escalar.$^{[a]}$ Así que, si tenemos algo así $$U^\alpha \, ,$$ esa cosa debe ser un covector porque contrae con un único vector para producir un escalar. Por lo tanto, los índices superiores indican partes de covector del tensor y los índices inferiores indican partes de vector. Ahora, si contraemos $g$ con sólo un vector $$ g^{\alpha \beta}V_\beta$$ nos queda un índice superior libre, es decir, un covector. Esta cosa usualmente se denota $V^\alpha$ y es precisamente el covector asociado a $V_\beta$, también conocido como el dual de $V_\beta$. En este sistema también podrías llamar a $V^\alpha$ la "versión covariante de $V_\beta$" o decir que $V^\alpha$ es "$V_\beta$ con su índice elevado".

El punto de esta respuesta es listar las diversas formas comunes en las que se llaman a las versiones covectoriales de los vectores, y proporcionar algo de motivación para la terminología.

$[a]$: También es común llamar a los índices superiores "covariantes" y a los índices inferiores "contravariantes". Esto tiene que ver con cómo los componentes de las representaciones de vectores y covectores, expresadas en una base dada, se transforman bajo transformaciones de coordenadas.