$\int_H c_1 (\mathcal O_{\mathbb P^2(k)}|_H)$, integral de la restricción de la clase Chern a una hipersuperficie proyectiva

Question

Deje $H$ ser un grado $d$ hipersuperficie de $\mathbb P^2$. Quiero calcular la integral de la $\int_H c_1 (\mathcal O(k)|_H)$.

Creo que tengo una prueba de esto, pero im no estoy seguro de si tengo todos los detalles a la derecha. Le agradecería si pudiera tener una mirada en ella:

1. Primero tomamos nota de que, como $c_1(\mathcal O(k))= k \cdot c_1(\mathcal O(1))$, es suficiente con considerar el caso de $k=1$.

2. Si denotamos por a $i$ la inclusión de mapas, a continuación, $\mathcal O(1)|_C$ La integral anterior es el emparejamiento $$\langle c_1(i^*\mathcal O(1)),[H]\rangle = \langle i^*c_1(\mathcal O(1)),[H]\rangle= \langle c_1(\mathcal O(1)),i_*[H]\rangle.$$

3. $i_*[H]$ es de Poincaré doble a $c_1(\mathcal O[H])$. Como $H$ es de grado $d$,$\mathcal O[H])=\mathcal O(d)$. Así $$\langle c_1(i^*\mathcal O(1)),[H]\rangle = \langle c_1(\mathcal O(1))\cup c_1(\mathcal O(d)),[\mathbb P^2]\rangle $$
4. Como $c_1(\mathcal O(1))$ es de Poincaré dual a una lineal hyperplane que cruza el grado $d$ hipersuperficie $H$ exactamente $d$ puntos (contando multiplicidades), la de Poincaré dual $P$ $c_1(\mathcal O(1))\cup c_1(\mathcal O(d))$ es la combinación lineal de estos $d$ puntos.
5. La aplicación de la definición de la dualidad de Poincaré sobre la constante de $1$-función, obtenemos $$ \langle c_1(\mathcal O(1))\cup c_1(\mathcal O(d)),[\mathbb P^2]\rangle = \langle P, 1|_P\rangle =d. $$
6. Resumiendo llegamos $\int_H c_1 (\mathcal O(k)|_H)=d\cdot k.$

Es lo escribí bien? Hay una corta prueba de esto?

Answer 1

Nos parece correcto. No estoy seguro de si hay una forma más rápida o no, sobre todo con la característica de clases, cuando son muchas las definiciones (espero que la mía coinciden con los suyos). Aquí está una prueba :

1) Vamos a $\alpha \in H^*(Y)$, $\alpha = \alpha^0 + \dots + \alpha^n$ donde $\alpha^i \in H^i(X)$. Definimos $\int_Y \alpha := \deg(\text{PD}(\alpha^n))$ donde $\text{PD}$ es la de Poincaré dual.

2) definimos $c_1(L) = [D] \in H^2(X)$ si $L = O_X(D)$. Entonces, tenemos $$\int_Y c_1(L_{|Y}) = \int_Y D_{|Y} = \int_Y D \cdot Y$$

Ahora se hace desde que usted está buscando en $\deg(\text{PD}(D \cdot Y)) = dk$.

Observación : Si usted está trabajando en el anillo de Chow, es aún más fácil, ya que, por definición,$CH^k(Y) := CH_{n-k}(Y)$, en este caso se definen por $\deg(\alpha^n)$. También intersección de la teoría es la forma más fácil en el anillo de Chow, ver la discusión en el primer capítulo del libro de Eisenbud y Harris.