¿Cómo calcular el determinante de esta matriz n por n?

Question

Encontrar el determinante de esta matriz n por n.

$$\begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end{pmatrix} $$ donde, $$ k=n-1 $ $.

Soy nuevo en matrices y determinantes, pero esto es lo que hice: Desarrollé el determinante usando la segunda columna:

$$ (-1) ^ 2 x_1\begin{pmatrix} x_1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \ x_k & 0 & \cdots& 1 \ \end{pmatrix} + (-1) ^ 3 1\begin{pmatrix} 0 & x_2 & \cdots & x_k \ x_2 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \ x_k & 0 & \cdots& 1 \\end{pmatrix} $$

el primer determinante es triangular, por lo que su igual a $ x_1 $ pero esto es donde me quedé pegado. No sé qué hacer con el segundo factor determinante. Cualquier ayuda es appriciated. Gracias

Answer 1

Una cosa agradable sobre el factor determinante es que no cambia si se agrega un múltiplo de una fila a otra fila.

Comience agregando veces de $-x_1$ $2$ $1$ de la fila la fila. Seguir, cada $i=1,\ldots,k$ agregar tiempos de $-x_i$ $i+1$ $1$ de la fila de la fila. Esto tiene el efecto de reducción a cero hacia fuera de cada elemento en la fila $1$ excepto la primera, que se convierte en $-(x_1^2+\cdots+x_k^2)$.

Después de eso, ampliando a lo largo de la primera fila, se obtiene precisamente:

$$-(x_1^2+\cdots+x_k^2)$$

porque todos los otros términos son cero.

Answer 2

Si usted indica que: $D_k =\begin{vmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end{vmatrix} $ y expandirlo por la última columna (o fila), obtienes\begin{align}D_k=\begin{vmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end{vmatrix} & =(-1) ^ kx_k\begin{vmatrix} x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x{k-1}&0 &0&\cdots&1\ x_k & 0 & 0 & \cdots&0\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & x_1 & x2 & \cdots& x{k-1} \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x{k-1} & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end{vmatrix} \ [2ex] & =(-1) ^ kx_k\begin{vmatrix} x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x{k-1}&0 &0&\cdots&1\ xk & 0 & 0 & \cdots&0\ \end{vmatrix} + \end{align D {k-1}} ahora ampliar este determinante de la última fila: $ $\begin{vmatrix} x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x{k-1}&0 &0&\cdots&1\ x_k & 0 & 0 & \cdots&0\ \end{vmatrix} =(-1) ^ {k-1} x_k\begin{vmatrix} 1&0&\cdots & 0 \ 0&1&\cdots & 0 \ \vdots&\vdots& \ddots & \vdots\ 0&0&\cdots&1 \end{vmatrix} =(-1) ^ {k-1} x_k. $$ finalmente obtenemos la relación de repetición: $D_k =(-1) ^ {2 k-1} xk ^ 2 + D {k-1} =-xk ^ 2 + D {k-1}, $$ de los cuales una repetición trivial muestra que $$Dk=-\sum{i=1}^k x_i^2.$ $

Answer 3

Tiene un menor error, pero tu método es muy buena. El menor error, es que para el primer periodo se han movido una sola posición, y para el segundo, sólo dos, así que la fórmula debe ser $$ (-1)^1*x_1 \begin{pmatrix} x_1 & 0 & \cdots & 0 \\ x_2 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ x_k & 0 & \cdots& 1 \\ \end{pmatrix} + (-1)^2 *1 \begin{pmatrix} 0 & x_2 & \cdots & x_k \\ x_2 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ x_k & 0 & \cdots& 1 \\\end{pmatrix} $$ Entonces, si vamos a $D_k(x_1 \ldots x_k)$ ser el factor determinante para un $k\times k$ matriz de esta forma, $$ D_1(x_1) = -x_1^2\\ D_n(x_n \ldots x_k) = -x_n^2 + D_{k-1}(x_{n+1} \ldots x_k) $$ desde la segunda matriz es la misma, pero a partir de la segunda $x$, en lugar del primero. Por lo tanto, $$ D_k= - \sum_{i=1}^k x_i^2 $$

Answer 4

Usted sólo debe factorizar:\begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end{pmatrix} =\begin{equation}\begin{pmatrix} -1 & x_1& \cdots &x_k\ 0 &1 &\cdots &0\ \vdots &&1\ 0&&&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sum x_i^2 & 0 &\cdots&\ x_1&1&&\ \vdots&&1&&\ x_k&&&1 \end{pmatrix} \end{equation} y entonces\begin{equation} \det\begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \ \end \end{equation {pmatrix}=\det\begin{pmatrix} -1 & x_1& \cdots &x_k\ 0 &1 &\cdots &0\ \vdots &&1\ 0&&&1 \end{pmatrix}\det\begin{pmatrix} \sum x_i^2 & 0 &\cdots&\ x_1&1&&\ \vdots&&1&&\ x_k&&&1 \end{pmatrix}}\begin{equation} =-1\cdot\sum x_i^2=-\sum x_i^2 \end{equation}

Answer 5

Usted puede hacer una cosa

$$ \begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \\ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ x_2 & 0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\ x_k & 0 & 0 & \cdots& 1 \\ \end{pmatrix} $$

Tomando $x_r$ común de $(r+1)^{th}$ fila para r=1 a k

$$ (\prod_{i=1}^k x_k) \begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots& x_k \\ 1 & \frac{1}{x_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \frac{1}{x_2}& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots& \frac{1}{x_k} \\ \end{pmatrix} $$

Y multiplicar $x_r$ $(r+1)^{th}$columna para r=1 a k

$$ \begin{pmatrix} 0 & x_1^2 & x_2 ^2 & \cdots& x_k ^2\\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots& 1 \\ \end{pmatrix} $$

Ahora resta de cada columna de la columna no. 1

$$ \begin{pmatrix} -\sum_{i=1}^k x_i^2 & x_1^2 & x_2 ^2 & \cdots& x_k ^2\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots& 1 \\ \end{pmatrix} $$

Usted sabe qué hacer a continuación