¿Podemos nosotros siempre localmente divide la métrica como $- N^2dt^2+g_{ij}dx^idx^j$?

Question

En el libro de Y. Choquet-Bruhat, la Relatividad General y las Ecuaciones de Einstein, la técnica siguiente lema se encuentra en la página 9:

Una de Lorenz métrica puede ser escrita en una lo suficientemente pequeño barrio por un cambio de coordenadas en la forma $$-N^2dt^2+g_{ij}dx^idx^j.$$

La prueba (creo que es de lo que se supone que) ella le da, tiene poco sentido:

En efecto, bajo un cambio de coordenadas $(x'^\alpha)\mapsto (x^\beta)$ $x^0=x'^0$ hemos $$g'_{i0}=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}\left(g_{j0}+g_{jh}\frac{\partial x^h}{\partial x'^0}\right),$$ realizamos $g_{i0}'=0$ mediante la resolución lineal de primer orden del sistema de $g_{j0}+g_{jh}\frac{\partial x^h}{\partial x'^0}=0$ para las funciones de la $x^h(x'^i,x'^0)$.

La razón de esto es problemático, es que hemos asumido $x^0=x'^0$, por lo que, de hecho, $x^h$ no puede ser una función de la $x'^0$, y el sistema lineal se cae a pedazos.

Estoy malinterpretando lo que ella dice? Puede la prueba de ser recuperada o es este un mal error tipográfico? Es el resultado verdadero?

Answer 1

Ofrecemos una alternativa a prueba.

Deje $(M^{n+1},g)$ ser un colector de Lorenz, y corregir $p\in M$. Deje $(x^\mu)$ ser un sistema de coordenadas definido en $U\ni p$ tal que $\partial_0$ es un timelike campo de vectores y $\partial_i$ son spacelike campos vectoriales para $i=1,\dotsc,n$. Este gráfico está construido aquí. En particular, tenga en cuenta que $g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$, la métrica de Minkowski. Así, la inversa de la métrica $g^{-1}$$p$$\eta^{\mu\nu}$. Como el doble de $\{\partial_\mu\}$$\{dx^\mu\}$,$g^{00}=g^{-1}(dx^0,dx^0)=-1$$p$, lo $g^{-1}(dx^0,dx^0)<0$ en un barrio de la $U$$p$.

Recordar el hecho siguiente: $g(X,Y)=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat)$ donde $\flat$ es la reducción del operador. Para ver esto, el trabajo en la base, a continuación, $g(X,Y)=g_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu=g_{\mu\nu}g^{\mu\rho}X_\rho g^{\nu\sigma}Y_\sigma=g^{\rho\sigma}X_\rho Y_\sigma=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat).$

Así tenemos a $g(\text{grad}\,x^0,\text{grad}\,x^0)<0$$U$, lo $\text{grad}\,x^0$ es timelike allí. Considere la posibilidad de la hipersuperficie $\Sigma=[x^0=0]$$U$, que contiene $p$. Se sabe que el campo normal a$\Sigma$$\text{grad}\,x^0$, que es timelike. Por lo tanto $\Sigma$ es un spacelike hipersuperficie que contengan $p$.

Gauss coordenadas, a continuación, dar la forma deseada de la métrica en un barrio de $p$,$N=1$.

Answer 2

En los comentarios de la OP aclaró que de alguna manera su argumento. Aquí te muestro por qué no funciona.

No hay nada que prevenir $x^h$ a depender de $x'^0$, aunque $x^0 = x'^0$, por ejemplo $$u:(t,\mathbf{x}) \mapsto (t',\mathbf{x'}) = (t, R(\omega t)\mathbf{x}),$$ ser $R(\theta)$ algunos de rotación de ángulo de $\theta$.

Ahora, parece que el problema viene de la identidad de $\partial_\nu x^\mu = \delta_\nu^\mu$, que creo que para ser verdadera. Pero tenemos que usar si cuidadosamente. Por ejemplo, en este ejemplo $$\frac{\partial \mathbf x'}{\partial t} = 0$$ pero lo que es distinto de cero es $$\frac{\partial \mathbf x' \circ u }{\partial t} =\frac{\partial R \mathbf x }{\partial t} = \frac{\partial R}{\partial t} \mathbf x$$ donde $u$ es el cambio de coordenadas.

Esta confusión es una consecuencia de la llamada con las mismas cartas, tanto las coordenadas y la diffeomorhism entre ellos.