¿Qué es el cuadrado de la suma?

Question

Considere lo siguiente, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

$$\left( \sum^{n-1}_{j=0}Z_j\right)^2 = \sum^{n-1}_{j=0} Z_j^2 + \sum^{n-1}_{j\neq i} Z_i Z_j$$

O

$$\left( \sum^{n-1}_{j=0}Z_j\right)^2 = \sum^{n-1}_{j=0} Z_j^2 + \sum^{n-1}_{j< i} Z_i Z_j$$

Hay una diferencia entre $j \neq i $ y $j < i$ en las expresiones anteriores. Pero no sé cómo pensar en esto.

Answer 1

La primera es correcta. Recuerde que la suma se aplicaría en todos los $(i,j)$ pares que satisfacen la misma condición. En realidad tenemos $$\sum\limits_{j\neq i}Z_iZ_j=\sum\limits_{j<i}Z_iZ_j+\sum\limits_{j>i}Z_iZ_j=2\sum\limits_{j<i}Z_iZ_j$$ Así, $$\left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j\right)^2=\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j^2+\sum\limits_{j\neq i}Z_iZ_j=\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j^2+2\sum\limits_{j<i}Z_iZ_j$$

Una deducción detallada puede ser $$\begin{array}{ccl} \left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j\right)^2&=&\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}Z_i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j\right)\\ &=&\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j\left(Z_j+\sum\limits_{j\neq i}Z_i\right)\\ &=&\sum\limits_{j=0}^{n-1}Z_j^2+\sum\limits_{j\neq i}Z_iZ_j\\ \end{array}$$ También se puede pensar de la siguiente manera. Que cada $Z_j$ igual a 1. Entonces $LHS$ sería igual a $n^2$ , lo que implica que habría $n^2$ términos totalmente. Consulte $RHS$ y encontrará el número de tales $(i,j)$ pares que $i<j$ es $\frac{n^2-n}{2}$ mientras que el número de estos $(i,j)$ pares que $i\neq j$ es $n^2-n$ . Así, $i\neq j$ debería ser la respuesta correcta.

Answer 2

Lo siguiente es correcto, utilizando dos sigmas en lugar de una como la siguiente

$$\left( \sum^{n-1}_{j=0}Z_j\right)^2 = \sum^{n-1}_{j=0} Z_j^2 +\sum^{n-1}_{j=0}\sum^{n-1}_{i\neq j} Z_jZ_i $$