¿Por qué es $\mathbb{C}_p$ isomorfo a $\mathbb{C}$?

Question

Sé que los dos campos cerrados de característica $0$ e incontables son isomorfos si tienen la misma cardinalidad. Pero no sé por qué, $\mathbb{C}_p$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{C}$. Puede alguien darme alguna referencia o sugerencia ?

Answer 1

Paso 1: Cualquier espacio métrico completo sin puntos aislados tiene cardinalidad, al menos, $\mathfrak{c}$ (continuum de cardinalidad). Tengo una buena explicación de esto aquí. En particular, $\mathbb{C}_p$ tiene cardinalidad, al menos,$\mathfrak{c}$.

Paso 2: Como la wikipedia sabe, un espacio topológico que es Hausdorff, primero contables y separables (así, en particular, un espacio métrico separable) tiene cardinalidad en la mayoría de las $\mathfrak{c}$: de hecho, cada punto es el límite de una secuencia a partir de una contables conjunto, y $\aleph_0^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$. Ahora $\overline{\mathbb{Q}}$ es denso en $\overline{\mathbb{Q}_p}$ (consecuencia de Krasner del Lema: ver, por ejemplo, $\S 3.5$ de estas notas) y, por tanto, también en su cumplimentación $\mathbb{C}_p$. Por lo $\mathbb{C}_p$ tiene cardinalidad en la mayoría de las $\mathfrak{c}$.

[Añadido: Aquí es alternativo, menos elegante pero más elementales -- argumento para el Paso 2:
(i) Para cualquier infinito campo de $K$, la cardinalidad de a $K$ es igual a la cardinalidad de su clausura algebraica.
(ii) Para cualquier espacio métrico $X$, la cardinalidad de la finalización de $X$ es en la mayoría de los $\# X^{\aleph_0}$ (el número de secuencias con valores en $X$). Por norma los hechos sobre el cardenal exponentation, tenemos $\# X \leq \mathfrak{c} \iff \# X^{\aleph_0} \leq \mathfrak{c}$.]

Por lo tanto, por el Schröder-Bernstein, Teorema de, $\mathbb{C}_p$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$.