Convergencia de $\{a_n\}$ dado que $b_n = a_n + 1/a_n$ converge

Question

Me dan una secuencia $\{a_n\}$ con $a_n > 0$ y $b_n = a_n + 1/a_n$ .

Primero se me pide que asuma que $a_n \ge 1$ y demostrar que la convergencia de $\{b_n\}$ implica la convergencia de $\{a_n\}$ .

Mi argumento es:

Desde $\{b_n\}$ converge, $\{b_n\}$ es Cauchy, por lo que para cada $\epsilon > 0$ algunos $N$ tal que para $n_i,n_j > N$ , $|b_{n_i} - b_{n_j}| < \epsilon$ . Entonces $|b_{n_i} - b_{n_j}| = |a_{n_i} - a_{n_j} + 1/a_{n_i} - 1/a_{n_j}| < \epsilon$ . Supongamos que $a_{n_i} = a_{n_j}$ . Entonces, claramente $|a_{n_i} - a_{n_j}| < \epsilon$ . Alternativamente, supongamos sin pérdida de generalidad que $a_{n_i} > a_{n_j}$ . Entonces $1/a_{n_i} - 1/a_{n_j} < 0$ mientras que $a_{n_i} - a_{n_j} > 0$ . Es sencillo observar que $-(1/a_{n_i} - 1/a_{n_j}) \le a_{n_i} - a_{n_j}$ debido a la condición $a_n \ge 0$ por lo que se deduce que $0 < |a_{n_i} - a_{n_j}| < |a_{n_i} - a_{n_j}|$ Así que entonces $|a_{n_i} - a_{n_j}| < |a_{n_i} - a_{n_j} + 1/a_{n_i} - 1/a_{n_j}| < \epsilon$ Por lo tanto $\{a_n\}$ es Cauchy y por lo tanto converge.

Sin embargo, a continuación se me pide que asuma que $\{b_n\}$ converge pero sólo que $a_n > 0$ y demostrar, mediante la construcción de un contraejemplo, que no se sigue necesariamente que $\{a_n\}$ converge. No estoy del todo seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Pista: dibujar una gráfica de la función $f(x)= x + \frac{1}{x}, x>0$ ¿Qué son las soluciones de $f(x) = b$ ? con $b = \dfrac{5}{2}$ por ejemplo

Answer 2

Realmente estás pensando demasiado en la segunda parte.

Toma la secuencia $a_n = a, 1/a, a, 1/a, a, 1/a, ... $ entonces $b_n = a + 1/a$ y la secuencia $b_n$ es convergente, pero $a_n$ no es convergente a menos que a = 1.