muestran que este polinomio puede ' t raíz múltiples que ocurren más $n-1$ veces

Question

Pregunta:

deje $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ ser un número complejo,y tal $x_{i}\neq x_{j},\forall i\neq j$, demostrar que: a raíz de este polinomio no puede

$$p(x)=(x-x_{1})^2(x-x_{2})^2\cdots (x-x_{n})^2\cdot\left(\dfrac{1}{(x-x_{1})^2}+\dfrac{1}{(x-x_{2})^2}+\cdots+\dfrac{1}{(x-x_{n})^2}\right)$$ tiene una raíz $b$ raíces múltiples que ocurren más $n-1$ veces

Mi idea: al $n=2$,luego $$p(x)=(x-x_{1})^2(x-x_{2})^2\left(\dfrac{1}{(x-x_{1})^2}+\dfrac{1}{(x-x_{2})^2}\right)=(x-x_{1})^2+(x-x_{2})^2$$ desde $x_{1},x_{2}$ es diferente

así $$p(x)=0$$ can't have root which multiple root occurring more $1$ veces

Pero por otro caso ,no puedo,Gracias

Hola,Alex R.

Creo $$P_{n+1}(x)=p_{n}(x)[(x-x_{n})^2+1]$$ no es cierto

porque he encontrado \begin{align*}&P_{n+1}(x)\\ &=(x-x_{1})^2(x-x_{2})^2\cdots (x-x_{n})^2\cdot(x-x_{n+1})^2\cdot\left(\dfrac{1}{(x-x_{1})^2}+\dfrac{1}{(x-x_{2})^2}+\cdots+\dfrac{1}{(x-x_{n})^2}+\dfrac{1}{(x-x_{n+1})^2}\right)\\ &= (x-x_{n+1})^2 P_{n}+(x-x_{1})^2(x-x_{2})^2\cdot(x-x_{n})^2 \end{align*}

Answer 1

Probamos por contradice:

Si $p(x)$ tiene una raíz $b$ raíz múltiples que ocurren más $n-1$ veces, entonces: $$p(b)=p'(b)=\cdots=p^{(n-1)}(b)=0$ $ $$b\neq x_1,x_2,\cdots,x_n$$ Denote $q(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2\cdots(x-xn)^2$, entonces como $q(x)\neq0$ en algunos $\epsilon$-barrio de $b$, consideramos $\frac{p(x)}{q(x)}=\sum{i=1}^n\frac{1}{(x-x_i)^2}$: %#% $ de #% esto implica que %#% $ de #% donde %#% $ de #% considerar la matriz de Vandermonde:

$$ V =\begin{bmatrix} \frac{1}{(b-x_1)^2} & \frac{1}{(b-x_2)^2} & \dots & \frac{1}{(b-x_n)^2}\ \frac{1}{(b-x_1)^3} & \frac{1}{(b-x_2)^3} & \dots & \frac{1}{(b-x_n)^3}\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \ \frac{1}{(b-x_1)^{n+1}} & \frac{1}{(b-x_2)^{n+1}} & \dots & \frac{1}{(b-xn)^{n+1}} \end{bmatrix} $$ entonces $$\frac{p(x)}{q(x)}=(\frac{p(x)}{q(x)})'=\cdots(\frac{p(x)}{q(x)})^{(n-1)}=0\,\text{at}\,x=b$ y por otro lado, existe un % de vector $$\sum{i=1}^n\frac{1}{(b-xi)^2}=\sum{i=1}^n\frac{1}{(b-xi)^3}=\sum{i=1}^n\frac{1}{(b-x_i)^{n+1}}=0$tal que $$\frac{1}{b-x_1}\neq\frac{1}{b-x_2}\neq\cdots\neq\frac{1}{b-x_n}\neq0$, por lo que la contradice.