4 votos

Cómo demostrar que el conjunto Vitali no puede ser denso en ninguna parte de $[0,1)$

Vi un comentario mencionando que se puede demostrar que "un conjunto de Vitali no puede ser denso en ninguna parte, ni siquiera exiguo" por el teorema de la categoría de Baire. Pero no sé cómo. En particular, suponiendo $\bf{AC}$ la cardinalidad de un conjunto Vitali es $\mathfrak c$ (continuo). ¿Cómo representarlo como la unión de una colección contable de conjuntos cerrados con interior vacío?

8voto

user27515 Puntos 214

Dado que un conjunto Vitali $V$ incluye un miembro de $x + \mathbb{Q}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ se deduce que $\bigcup_{q \in \mathbb{Q}} ( q + V ) = \mathbb{R}$ y esta es una unión contable. Por el Teorema de la Categoría Baire $\mathbb R$ no es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte, por lo que al menos uno de ellos no es denso en ninguna parte. Pero como sólo son trasuntos unos de otros, ninguno es denso en ninguna parte; en particular $V$ no es denso en ninguna parte.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X