Vi un comentario mencionando que se puede demostrar que "un conjunto de Vitali no puede ser denso en ninguna parte, ni siquiera exiguo" por el teorema de la categoría de Baire. Pero no sé cómo. En particular, suponiendo $\bf{AC}$ la cardinalidad de un conjunto Vitali es $\mathfrak c$ (continuo). ¿Cómo representarlo como la unión de una colección contable de conjuntos cerrados con interior vacío?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Dado que un conjunto Vitali $V$ incluye un miembro de $x + \mathbb{Q}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ se deduce que $\bigcup_{q \in \mathbb{Q}} ( q + V ) = \mathbb{R}$ y esta es una unión contable. Por el Teorema de la Categoría Baire $\mathbb R$ no es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte, por lo que al menos uno de ellos no es denso en ninguna parte. Pero como sólo son trasuntos unos de otros, ninguno es denso en ninguna parte; en particular $V$ no es denso en ninguna parte.