¿Es este conjunto un grupo? ¿Anillo?

Question

Si consideramos el conjunto de funciones lineales que mapean reales a reales: $$G = \ \{ \ f(x)=mx+b \mid m,b \in \mathbb{R} \}$$

Es $\langle G, + \rangle$ un grupo bajo la adición de funciones?

Es $\langle G, +, * \rangle$ un anillo bajo adición de funciones y multiplicación de funciones?

Estoy seguro de que la respuesta a la primera pregunta es sí, pero no estoy seguro de si este conjunto comprende un anillo. Mirando los axiomas del anillo diría que no, pero cualquier pista o solución se agradecería.

Answer 1

Su conjunto no es un anillo ya que no es cerrado bajo la multiplicación. Observe, por ejemplo, $$ (x) * (x) = (x^2) \notin G $$ Si cambias $*$ a la composición y no a la multiplicación, entonces $G$ está cerrado bajo $*$ pero no es un anillo porque no cumple la propiedad distributiva.

Answer 2

La operación de multiplicación tiene que $G \mapsto G$ por lo que no podemos tener un grupo si definimos $$ (f_1 \circ f_2) (x) = f_1(x) f_2(x) $$ ya que el lado derecho no es lineal.

En su lugar, intentemos $$f_1 \circ f_2 = f_1( f_2(x) )$$ Ahora la multiplicación es cerrada, y hay una identidad, a saber $f(x) = x$ . Ahora hay múltiples funciones, no sólo la identidad aditiva $f(x) = 0$ que no tienen inversa multiplicativa: Si $f(x) = k$ entonces no hay ninguna función $g(x)$ tal que para todo $x$ , $g(k)=x$ . Pero eso no descalifica $G$ de ser un anillo, ya que no hay necesidad de inversos multiplicativos.

Pero considera la asociatividad. ¿Es $$ m_1(m_2+m_3)x + b_2+b_3) +b_1 \stackrel{?}{=}(m_1+m_2)(m_xx+b_3) + (b_1+b_2) $$ Por supuesto que no, basta con ver los términos que sólo tienen $b_i$ en ellos. A la izquierda tienes $b_1$ A la derecha tienes $(b_1+b_2)$ .

Así que esto no forma un anillo.

Answer 3

Toma $f,g\in G$ definido por $f(x)=m_1x+b_1$ y $g(x)=m_2x+b_2$ .

$(f\cdot g)(x)=(m_1x+b_1)(m_2x+b_2)=m_1m_2x^2+(m_1+m_2)x+m_1m_2\notin G$

Entonces $G$ no es cerrado bajo la multiplicación.