De acuerdo con el siguiente enlace, en la página 248, la trenza grupo modulo de su centro es isomorfo a la clase de asignación de grupo de la $N$-a veces perforado plano, es decir,$B_N/Z(B_N)\cong M_N(\mathcal(R)^2)$. Podía alguien que me explique, cómo se relacionan con la asignación de grupo de clase de la pinchado $2$-esfera, por favor?
Respuesta
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La clave del teorema es la siguiente.
La trenza de grupo $B_n$ es isomorfo a la asignación del grupo de clase $$ M_n(D^2) \;=\; \mathrm{MCG}\bigl(D^2 - \{p_1,\ldots,p_n\},\partial D^2\bigr) $$ de un disco con $n$ pinchazos rel el límite.
Aquí "rel de la frontera" significa que todos los homeomorphisms y isotopies debe fijar el límite del disco pointwise.
La idea de este teorema es que un homeomorphism del disco "mueve" la $n$ pinchazos, y usted puede mantener un registro de este movimiento en una trenza.
Más precisamente, dado un homeomorphism $h$ $D^2 - \{p_1,\ldots,p_n\}$ que corrige $\partial D^2$ pointwise, podemos extender $h$ a todos los de $D^2$ mediante el relleno de las perforaciones. Ahora, cada homeomorphism de $D^2$ que corrige $\partial D^2$ pointwise es isotópico rel $\partial D^2$ a la identidad. Por lo tanto, existe una isotopía $h_t\,$ rel $\partial D^2$ que $h_0$ es el mapa de identidad en $D^2$$h_1=h$. A continuación, cada punción $p_i$ sigue un camino de $h_t(p_i)$ bajo esta isotopía, y la unión de los gráficos $$ \bigcup_{i=1}^n \{(h_t(p_i),t) \mediados de los t\in[0,1]\} $$ es una trenza incrustado en el cilindro sólido $D^2 \times [0,1]$.
En términos más concretos, la asignación de la clase de grupo $M_n(D^2)$ es generado por la mitad Dehn giros alrededor de los pares de $\{p_i,p_{i+1}\}$ de los pinchazos, y estos corresponden a la mitad-giros de pares adyacentes de filamentos en la trenza de grupo.
En cualquier caso, el teorema acerca de un pinchazo en un ámbito es el siguiente.
Deje $M$ ser la clase de asignación de grupo de una $(n+1)$-perforado esfera. Deje $p$ ser uno de los pinchazos, y deje $M_p$ ser el subgrupo de $M$ que consiste en la asignación de clases que arreglar $p$. A continuación, $M_p$ es isomorfo a $B_n / Z(B_n)$ donde $Z(B_n)$ es el centro de la $B_n$.
Antes de explicar este teorema, debo mencionar que el centro de $Z(B_n)$ $B_n$ es infinito cíclico, y es generada por un total $360^\circ$ giro de la $n$ hebras. Como un elemento de $M_n(D^2)$, esto corresponde a una Dehn giro alrededor de una curva que se encuentra cerca de la frontera del disco.
Ahora, es evidente que existe una homomorphism $M_n(D^2) \to M_p$, obtenido mediante la asignación de los límites de la disco a un pequeño círculo alrededor de la punción $p$. Desde $M_n(D^2)$ es isomorfo a $B_n$, esto le da un homomorphism $B_n \to M_p$. Ahora, no debería ser demasiado difícil ver que:
Este homomorphism se hacia, y
El centro de $Z(B_n)$ se encuentra en el núcleo de este homomorphism.
La explicación de (2) es que el generador para el centro es la asignación a un Dehn giro a lo largo de un pequeño círculo alrededor de la $p$, lo que claramente es isotópico a la identidad.
También debe tener sentido intuitivamente que $Z(B_n)$ sería todo el núcleo de este homeomorphism, y por lo tanto $M_p$ es isomorfo a $B_n / Z(B_n)$.
