Me hicieron una muy similar pregunta de ayer. La respuesta es sí.
Primero el caso más fácil, que se reducirá a continuación:
Si $\mathrm{Spec}(A)$ es irreducible, entonces también lo es $\mathbb{A}^r_A$.
Deje $X = \mathrm{Spec}(A)$ ser una irreductible afín, es decir, $A$ es un anillo conmutativo con el primer nilradical, y deje $Y$ ser el espacio total de la trivial de rango $r$ vector paquete de más de $X$. A continuación,$Y \cong \mathrm{Spec}(A[x_1,x_2,\dots x_r])$. El nilradical de $A[x_1,x_2,\dots x_r]$ sólo consta de los polinomios con nilpotent coeficientes (que es un poco de ejercicio en Atiyah-Macdonald, Capítulo 1) y por lo $A[x_1,x_2,\dots x_r]_{\text{red}} = A_{\text{red}}[x_1,x_2,\dots x_r]$ es una parte integral de dominio; por lo tanto $Y$ es irreductible.
La reducción de este básica del caso podemos probar:
Deje $X$ ser una irreductible esquema y $F$ localmente libre de $\mathcal{O}_X$-módulo de finito constante rango de $r$. A continuación, el espacio total de los asociados $\mathbb{A}^r$-bundle, $\mathrm{Spec}(SF^\vee)$, es irreductible.
De hecho, es suficiente para demostrar que $Y$ tiene una cubierta abierta $Y = \bigcup_i U_i$ por irreducible afín subschemes con $U_i\cap U_j\not=\emptyset$ para todos los índices de $i,j$.
Deje $X = \bigcup_i V_i$ ser afín a abra la cubierta trivializar $F$. Desde $X$ es irreductible, por lo que son las $V_i$, e $V_i\cap V_j\not=\emptyset$ para todos los índices de $i,j$. Entonces
- $Y$ es cubierto por el afín abrir subschemes $U_i:=Y_{V_i} \cong\mathrm{Spec}(SF^\vee(V_i))\cong\mathbb{A}^r_{V_i}$ y
- Para cada par de índices de $i,j$, ya que el $V_i\cap V_j\not=\emptyset$, esta intersección contiene algunos no trivial afín a abrir $W\subset V_i\cap V_j$, lo $U_i\cap U_j = Y_{V_i\cap V_j}$ contiene la no-trivial afín a abrir subscheme $Y_W \cong \mathrm{Spec}(SF^\vee(W))$.
Por el caso fácil, el $U_i$ son irreductibles, y por lo $Y$ está cubierto por la irreductible afín a abrir subschemes reunión de pares no-trivial. Esto demuestra que $Y$ es irreductible, como se reivindica.