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¿Cómo se puede demostrar que la raíz cúbica de 9 es irracional?

Por supuesto, si introduces la raíz cúbica de 9 en una calculadora, obtienes una serie interminable de dígitos. Sin embargo, ¿cómo se demuestra esto en papel?

14voto

Rob Lachlan Puntos 7880

Supongamos que 91/3=m/n con m, n enteros con GCD(m,n)=1. Esto se puede asumir porque si d es un divisor entero tanto de m como de n, entonces m/n=(m/d)/(n/d).Luego9n3=m3entonces3divideam^3,porlotantoamyaque3esprimo.Porlotanto3^3=27divideaambosladosdelaigualdad,porloque3dividean^3,porloquen por la misma razón que antes. Esto contradice la suposición de que m y n$ son coprimos.

Este argumento se generaliza inmediatamente para mostrar que la raíz n-ésima de un entero que no es una potencia n-ésima de un entero no es racional.

11voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Según el test de raíces racionales, si P(x) = a_nx^n+\cdots +a_0 es un polinomio con coeficientes enteros, y \frac{u}{v} es un número racional con \gcd(u,v)=1 tal que P(\frac{u}{v})=0, entonces u divide a a_0 y v divide a $a_1.

(Esto se cumple en cualquier dominio de GCD, incluso si no hay una factorización única en números primos)

(Si no entiendes el último comentario entre paréntesis, no te preocupes; es un guiño hacia aquellos que conocen algo de álgebra abstracta)

Observa x^3-9. Si \frac{u}{v} es una raíz, entonces \begin{align*} \frac{u^3}{v^3}-3&=0\\ \frac{u^3}{v^3} &=9\\ u^3&=9v^3\\ v^3 &\text{divide }u^3\\ v &\text{divide }u^3\\ v &\text{divide }1 &&\text{(ya que }\gcd(u,v)=1\text{)} \end{align*} por lo tanto cualquier raíz racional debe ser un entero.

Pero si a es un entero positivo, a\leq 2 implica a^3\leq 8, y a\geq 3 implica a^3\geq 27. Entonces no hay enteros con cubo igual a 9.

Más generalmente, si examinas x^n-b con b un entero, tiene raíces racionales si y solo si tiene raíces enteras, si y solo si b es un n-ésimo potencia perfecta.

Aún más generalmente, las raíces racionales de polinomios mónicos con coeficientes enteros ("mónico" significa "coeficiente principal igual a 1) son necesariamente enteros (y deben dividir al término constante).

8voto

Alejandro DC Puntos 156

Suponga que la raíz cúbica de 9 es racional, entonces se puede escribir como p/q para enteros p y q tales que p y q no comparten ningún divisor común.

\begin{align*}(p/q)^3 &= 9\\ &\implies (p^3)/(q^3) = 9\\ &\implies p^3 = 9 * (q^3) \end{align*}

Ahora, p debe ser un múltiplo de 3, de lo contrario p^3 no sería un múltiplo de 3 (o 9). Sea r el entero tal que (3r)^3 = p^3

Entonces, \begin{align*} (3r)^3 &= 9(q^3)\\ &\implies 3 * 3 * 3 * r^3 = 9(q^3)\\ &\implies q^3 = 3 r^3 \end{align*} por lo tanto q también es un múltiplo de 3.

Si p y q son ambos múltiplos de 3, entonces p/q no es la forma más sencilla de expresar la raíz cúbica de 9 y así tenemos una contradicción.

Por lo tanto, la raíz cúbica de 9 debe ser irracional

2voto

FuzzyQ Puntos 200

Esta es esencialmente la misma prueba que di en mi respuesta aquí.

Supongamos que 9^{\frac{1}{3}} es racional. Entonces 3^{2n^3} = m^3 para algunos números naturales n y m. En el lado izquierdo de la ecuación, la potencia de 3 tiene la forma de 3k + 2 y en el lado derecho tiene la forma de 3l. Esto es una contradicción, porque cada entero mayor que uno tiene una factorización prima única según el teorema fundamental de la aritmética. Así que 9^{\frac{1}{3}} no es racional.

Esta misma prueba también funciona para un caso más general. Sea p un número primo y n \geq 2 un entero. Entonces \sqrt[n]{p^k} es irracional cuando n no divide a k. Al igual que antes, asumir que \sqrt[n]{p^k} es racional lleva a una situación en la que tenemos un número con dos factorizaciones primas diferentes. Una factorización tiene a p con una potencia divisible por n, mientras que la otra tiene a p con una potencia no divisible por $n.

0voto

rtybase Puntos 430

Normalmente uso el teorema de Bézout http://mathworld.wolfram.com/BezoutsTheorem.html. Y aquí hay un ejemplo de cómo usarlo http://rtybase.blogspot.com/2011/06/regarding-square-root-of-n.html que se puede extrapolar fácilmente a un caso más general.

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