¿Cómo se puede demostrar que la raíz cúbica de 9 es irracional?

Question

Por supuesto, si introduces la raíz cúbica de 9 en una calculadora, obtienes una serie interminable de dígitos. Sin embargo, ¿cómo se demuestra esto en papel?

Answer 1

Supongamos que $9^{1/3}=m/n$ con $m$, $n$ enteros con ${\rm GCD}(m,n)=1$. Esto se puede asumir porque si $d$ es un divisor entero tanto de $m$ como de $n$, entonces $m/n=(m/d)/(n/d). Luego $$ 9n^3=m^3 $$ entonces $3$ divide a $m^3$, por lo tanto a $m$ ya que $3$ es primo. Por lo tanto $3^3=27$ divide a ambos lados de la igualdad, por lo que $3$ divide a $n^3$, por lo que $n$ por la misma razón que antes. Esto contradice la suposición de que $m$ y $n$ son coprimos.

Este argumento se generaliza inmediatamente para mostrar que la raíz n-ésima de un entero que no es una potencia n-ésima de un entero no es racional.

Answer 2

Según el test de raíces racionales, si $$P(x) = a_nx^n+\cdots +a_0$$ es un polinomio con coeficientes enteros, y $\frac{u}{v}$ es un número racional con $\gcd(u,v)=1$ tal que $P(\frac{u}{v})=0$, entonces $u$ divide a $a_0$ y $v$ divide a $a_1.

(Esto se cumple en cualquier dominio de GCD, incluso si no hay una factorización única en números primos)

(Si no entiendes el último comentario entre paréntesis, no te preocupes; es un guiño hacia aquellos que conocen algo de álgebra abstracta)

Observa $x^3-9$. Si $\frac{u}{v}$ es una raíz, entonces $$\begin{align*} \frac{u^3}{v^3}-3&=0\\ \frac{u^3}{v^3} &=9\\ u^3&=9v^3\\ v^3 &\text{divide }u^3\\ v &\text{divide }u^3\\ v &\text{divide }1 &&\text{(ya que }\gcd(u,v)=1\text{)} \end{align*}$$ por lo tanto cualquier raíz racional debe ser un entero.

Pero si $a$ es un entero positivo, $a\leq 2$ implica $a^3\leq 8$, y $a\geq 3$ implica $a^3\geq 27$. Entonces no hay enteros con cubo igual a $9$.

Más generalmente, si examinas $x^n-b$ con $b$ un entero, tiene raíces racionales si y solo si tiene raíces enteras, si y solo si $b$ es un $n$-ésimo potencia perfecta.

Aún más generalmente, las raíces racionales de polinomios mónicos con coeficientes enteros ("mónico" significa "coeficiente principal igual a $1$) son necesariamente enteros (y deben dividir al término constante).

Answer 3

Suponga que la raíz cúbica de $9$ es racional, entonces se puede escribir como $p/q$ para enteros $p$ y $q$ tales que $p$ y $q$ no comparten ningún divisor común.

$$\begin{align*}(p/q)^3 &= 9\\ &\implies (p^3)/(q^3) = 9\\ &\implies p^3 = 9 * (q^3) \end{align*}$$

Ahora, $p$ debe ser un múltiplo de $3$, de lo contrario $p^3$ no sería un múltiplo de 3 (o 9). Sea $r$ el entero tal que $(3r)^3 = p^3$

Entonces, $$\begin{align*} (3r)^3 &= 9(q^3)\\ &\implies 3 * 3 * 3 * r^3 = 9(q^3)\\ &\implies q^3 = 3 r^3 \end{align*}$$ por lo tanto $q$ también es un múltiplo de $3$.

Si $p$ y $q$ son ambos múltiplos de $3$, entonces $p/q$ no es la forma más sencilla de expresar la raíz cúbica de $9$ y así tenemos una contradicción.

Por lo tanto, la raíz cúbica de $9$ debe ser irracional

Answer 4

Esta es esencialmente la misma prueba que di en mi respuesta aquí.

Supongamos que $9^{\frac{1}{3}}$ es racional. Entonces $3^{2n^3} = m^3$ para algunos números naturales $n$ y $m$. En el lado izquierdo de la ecuación, la potencia de $3$ tiene la forma de $3k + 2$ y en el lado derecho tiene la forma de $3l$. Esto es una contradicción, porque cada entero mayor que uno tiene una factorización prima única según el teorema fundamental de la aritmética. Así que $9^{\frac{1}{3}}$ no es racional.

Esta misma prueba también funciona para un caso más general. Sea $p$ un número primo y $n \geq 2$ un entero. Entonces $\sqrt[n]{p^k}$ es irracional cuando $n$ no divide a $k$. Al igual que antes, asumir que $\sqrt[n]{p^k}$ es racional lleva a una situación en la que tenemos un número con dos factorizaciones primas diferentes. Una factorización tiene a $p$ con una potencia divisible por $n$, mientras que la otra tiene a $p$ con una potencia no divisible por $n.

Answer 5

Normalmente uso el teorema de Bézout http://mathworld.wolfram.com/BezoutsTheorem.html. Y aquí hay un ejemplo de cómo usarlo http://rtybase.blogspot.com/2011/06/regarding-square-root-of-n.html que se puede extrapolar fácilmente a un caso más general.