No es un ejemplo de espacio vectorial

Question

$V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$ si cumple las siguientes condiciones.

1. $(V,+)$ es un grupo abeliano.
2. $1 \in F $ tal que $1.\alpha=\alpha$ por cada $\alpha \in V$
3. $(c_{1}c_{2})\alpha=c_{1}(c_{2}\alpha)$
4. $(c_{1}+c_{2})\alpha =c_{1}\alpha +c_{2}\alpha$
5. $c(\alpha+\beta)=c\alpha+c \beta $

Quiero encontrar ejemplos de conjuntos que no sean espacios vectoriales sobre algún campo $F$ violando exactamente una condición entre ellas.

Los ejemplos de violación de la primera son fáciles. ¿Pero qué pasa con la segunda? Esto significa que $1 \in F$ no satisface $1.\alpha=\alpha$ ?

Aquí los escalares $c,c_{1},c_{2}$ son de $F$ y vectores $\alpha$ y $\beta$ son de $V$

Answer 1

Violando sólo 1:

Sea $F = \mathbb F_2$ y $V = \{0,a,b\}$ con la tabla de adición $$\begin{array}{c|ccc} + & 0 & a & b\\ \hline 0 & 0 & a & b\\ a & a & 0 & a\\ b & b & b & 0 \end{array}$$ y la regla de multiplicación obvia $0\alpha=0$ , $1\alpha=\alpha$ . Claramente $(V,+)$ no es un grupo abeliano, pero se puede comprobar fácilmente que todas las demás condiciones se cumplen.

Violando sólo 2:

Aquí tomaré el ejemplo propuesto por Tobias Kildetoft en los comentarios:

Sea $F$ un campo arbitrario, y $(V,+)$ un grupo abeliano no trivial arbitrario. Decine $c\alpha = 0_V$ para todos $c\in F$ y $\alpha \in V$ .

Violando sólo 3:

Toma $F=\mathbb C$ y $V=\mathbb R^n$ con la adición habitual por entrada (cumpliendo así la condición 1). Definir $c\alpha = \operatorname{Re}(c)\alpha$ donde en el lado derecho he utilizado la multiplicación escalar habitual con números reales. Como $\operatorname{Re}(z)$ es lineal, se cumplen las condiciones 2, 4 y 5. Sin embargo, si $c_1 = c_2 = \mathrm i$ entonces el lado izquierdo de la condición 3 es $(\mathrm i^2)\alpha = -\alpha$ mientras que el lado derecho es $\mathrm i(\mathrm i\alpha) = \mathrm i(\operatorname{Re}(\mathrm i)\alpha) = 0$ .

Violando sólo el 4:

Vuelve a ser $F=\mathbb C$ y $V=\mathbb R^n$ con la adición habitual. Sin embargo, ahora define $c\alpha = \left|c\right|\alpha$ .

Violando sólo el 5:

Bien, aquí me rindo por ahora.