La curva se encuentra en todas partes

Question

(relacionado, pero no duplicado: curva que se cruza a sí misma en cada punto )

Al leer los comentarios a la pregunta anterior, se ha señalado que si por "cruz" se entiende que por cada $\alpha\in [0,1]$ hay $\beta\neq\alpha$ tal que $\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)$ Entonces, hay ejemplos sencillos de tales curvas. Sin embargo, todos los ejemplos que se me ocurren tienen la siguiente propiedad:

Hay dos intervalos disjuntos (no degenerados) $I_1,I_2\subseteq [0,1]$ tal que $\gamma(I_1)=\gamma(I_2)$ .

(intuitivamente, esto significa que la curva pasa por algún segmento dos veces de la misma manera o al revés).

Mi pregunta es, ¿tiene que pasar siempre esto? Para ser precisos:

¿Existe una curva continua $\gamma:[0,1]\rightarrow\Bbb R^2$ tal que para cada $\alpha\in [0,1]$ hay $[0,1]\ni\beta\neq\alpha$ tal que $\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)$ pero no hay dos intervalos disjuntos $I_1,I_2\subseteq [0,1]$ tenemos que $\gamma(I_1)=\gamma(I_2)$ ?

Creo que la respuesta es sí y que esto se consigue mediante alguna curva de llenado de espacio, pero no estoy seguro.

Gracias de antemano.

Answer 1

Editar: Como señala Rahul, esta curva en realidad no satisface el criterio dado, ya que las imágenes de $[0,1)$ y $(1,2]$ son los mismos. No está claro cómo se puede arreglar esto.

Puesto original: La respuesta es sí, y el ejemplo más fácil es concatenar dos curvas de llenado de espacio con estructuras locales diferentes. Por ejemplo, dejemos que $h\colon [0,1]\to [0,1]^2$ ser un Curva de Hilbert y $p\colon [1,2]\to[0,1]^2$ a Curva de Peano tal que $h(1) = p(1)$ . Entonces la unión $h\cup p\colon [0,2]\to[0,1]^2$ tiene la propiedad deseada.

Nota: Técnicamente esta curva no se cruza en el punto $h(1)=p(1)$ pero esto se puede resolver, por ejemplo, añadiendo un segmento de línea al final de la curva que va desde $p(2)$ volver a $h(1)=p(1)$ .