Encontrar la derivada de$\sqrt{1 - 2x}$ con la regla de cadena

Question

Tengo esta diferenciación problema, tomado de James Stewart, Cálculo de Principios Trascendentales, 7ª Ed. Página 205, Ejercicio 9.

Encontrar la derivada de la a continuación, utilizando la regla de la cadena.

Dado: $$F(x)=\sqrt{1-2x}$$

Mi solución:

$$\sqrt{1-2x}=(1-2x)^{1/2}$$

$$\frac{d}{dx}(1-2x)^{1/2}=\frac{(1-2x)^{-1/2}}{2^{-1/2}}(-2)$$

Recíproco del numerador y el denominador será crear los exponentes positivos.

$$\frac{2^{1/2}}{(1-2x)^{1/2}}(-2)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(1-2x)}}(-2)$$

Multiplicar por $-2$ nuestra respuesta:

$$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{(1-2x)}}$$

Sin embargo, el libro de texto de respuesta es:

$$\frac{-1}{\sqrt{(1-2x)}}$$

¿De dónde me vaya mal con mi álgebra? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Aquí está el error:

ps

Ps: recuerda que$$\frac{d}{dx}(1-2x)^{1/2}=\frac{(1-2x)^{-1/2}}{2}\cdot(-2)$

Más específico y usando la regla de la cadena:

ps

En su caso, puede elegir$(x^{1/2})'=\frac{1}{2}\cdot x^{-1/2}$ y$$(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$,

ps

ps

y entonces:

ps

Answer 2

El denominador de$2^{-\frac{1}{2}}$ es incorrecto.

La derivada de$x^\frac{1}{2}$ es$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, por lo que debe ser multiplicada por la constante$\frac{1}{2}$ en su lugar.

Ahora simplemente sustituya$1 - 2x$ en$x$ y multiplíquelo con la derivada de$1 - 2x$ para aplicar la regla de cadena.

Answer 3

$$\frac{d}{dx}(1-2x)^{1/2}=\frac{(1-2x)^{-1/2}}{2^{-1/2}}(-2)$$

está mal; el factor $2^{-1/2}$ en el denominador sólo debe ser $2$ en su lugar - el derivado de $x^{1/2}$ $\frac{1}{2}x^{-1/2}$, no $\frac{x^{-1/2}}{2^{-1/2}}$.

Answer 4

$f(g(x))=\sqrt{1-2x} $ y $ g(x)=1-2x$

así que ahora aplica la regla de la cadena (derivado de $f(g(x))= f'(g(x)).g'(x)$), obtenemos las siguientes
$\frac{1}{2.\sqrt{1-2x}}.g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}.(-2)=\frac{-1}{\sqrt{1-2x}}$