Cuando usted sesgar una elipse, cómo se calcula el ángulo de rotación y las longitudes de eje nuevo

Question

Estoy tratando de escribir un SVG programa de dibujo, y es necesario prestar sesgada elipses gira elipses con correctamente a calcular longitudes de eje. Esto muestra que el problema que estoy tratando de resolver:

El azul oscuro de puntos se calcula fácilmente a partir de la distorsión de la geometría. Sé el centro de la nueva elipse, pero no sé cómo calcular el ángulo de rotación de la nueva elipse y su nuevo eje de longitud. Hice esto por los ojos en un programa de dibujo, pero necesito hacer esto matemáticamente en mi código.

Answer 1

Factible, pero el resultado es un poco desordenado.

En primer lugar, observe que la foto de la transformación es equivalente a la corte que deja el centro de la elipse fijo seguido por una traducción. Las traducciones no afecta a la forma o la orientación de una elipse, por lo que podemos simplificar un poco las cosas por considerar una elipse en posición estándar y una cizalla que corrige el origen.

Una ecuación general de una elipse centrada en el origen es $Ax^2+Bxy+Cy^2=1$, que puede ser escrito en formato vectorial como $$\mathbf x^T\begin{bmatrix}A&\frac B2\\\frac B2&C\end{bmatrix}\mathbf x=1.$$ For an ellipse, the eigenvalues of this matrix are both positive. If $\lambda_1$ and $\lambda_2$ are these eigenvalues, with $\lambda_1\le\lambda_2$, then the semimajor and semiminor axis lengths of the ellipse are given by $a^2=1/\lambda_1$ and $b^2=1/\lambda_2$, respectively. The related eigenvalues point in the directions of these axes, so the rotation of the ellipse is given by the angle of the line defined by the eigenspace of $\lambda_1$. Solving for the eigenvalues, we get $$\lambda_{1,2}=\frac12\left(A+C\mp\sqrt{(A+C)^2+B^2-4AC}\right)\tag{1}$$ with associated eigenvectors $$\left[A-C\mp\sqrt{(A+C)^2+B^2-4AC},B\right]^T.\tag{2}$$ (Se puede comprobar que estos dos vectores son ortogonales.)

En este caso, partimos de la elipse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, o en formato vectorial $\mathbf x^T\mathbf Q\mathbf x=1$,$\mathbf Q=\operatorname{diag}(a^{-2},b^{-2})$. La ecuación de la transformada de la elipse se obtiene sustituyendo $\mathbf S^{-1}\mathbf x$ $\mathbf x$ donde $\mathbf S$ es la matriz de la transformación de cizallamiento: $$\mathbf S=\begin{bmatrix}1&\tan\beta\\0&1\end{bmatrix},$$ i.e., $(\mathbf S^{-1}\mathbf x)^T\mathbf Q(\mathbf S^{-1}\mathbf x)=\mathbf x^T((\mathbf S^{-1})^T\mathbf Q\mathbf S^{-1})\mathbf x=\mathbf x^T\mathbf Q'\mathbf x$. (Note that inverting $\mathbf S$ is a simple matter of replacing $\tan\beta$ with $-\tan\beta$.) Multiplying this out, we get $$\mathbf Q'=\begin{bmatrix}\frac1{a^2}&-{\tan\beta\over a^2}\\-{\tan\beta\over a^2}&\frac1{b^2}+{\tan^2\beta\over a^2}\end{bmatrix}.\tag{3}$$ Substitute these values for $Un$, $B$ and $C$ en las ecuaciones (1) y (2) para encontrar el semi-eje longitudes y la rotación de la transformación de la elipse. (En lugar de hacer todo esto, usted podría tener buscó fórmulas para el semi-eje longitudes y rotación de un general-forma de elipse en fuentes como la Wikipedia, pero no es muy difícil trabajar por esta relativamente simple caso).

Por ejemplo, digamos que por su elipse, $a=4$, $b=2$ y, como en la ilustración, $\beta=\frac\pi6$. Sustituyendo estos valores en $\mathbf Q'$ tenemos $A=\frac1{16}$, $B=-\frac1{8\sqrt3}$ y $C=\frac{13}{48}$. Conectar estos coeficientes en la ecuación (1) produce ${4\mp\sqrt7\over24}$ de los autovalores, que le da (después de un poco de trabajo) $\frac2{\sqrt3}(\sqrt7\pm1)$ (es decir, aproximadamente el $4.21$$1.90$) para el semi-eje longitudes y $\arctan\left({2\sqrt{21}-5\sqrt3\over3}\right)\approx9.55°$ de la elipse de la rotación.

Como una comprobación de validez, se observa que el corte de transformación de $\mathbf S$ ha determinante $1$, lo $\det{\mathbf Q'}=\det{\mathbf Q}=(ab)^{-2}$. Pero el determinante de una matriz es igual al producto de sus valores propios, de modo que el producto de la semi-eje longitudes de estas elipses es constante. Si multiplicamos el semi-eje longitudes de la transformación de la elipse calculados en el párrafo anterior juntos, realmente llegamos $8=4\cdot2$.

Es interesante la trama de estos valores como funciones del ángulo de distorsión $\beta$. El semi-eje longitudes son monótonas, como uno podría esperar, pero el ángulo de rotación alcanza un máximo en torno a $60°$ a cortante para el ejemplo de arriba-y luego disminuye a medida que el ángulo de distorsión es aún mayor.

Addendum: resulta que el máximo ángulo de rotación se obtiene cuando el ángulo de distorsión $\beta$ satisface $\tan\beta={\sqrt{a^2-b^2}\over b}=\frac fb$ donde $f$ es la distancia de los focos desde el centro de la elipse original. Esta cantidad es también conocida como la segunda excentricidad de la elipse y el correspondiente ángulo de su excentricidad angular.