Es el producto de un Cesaro summable secuencia de $0$s y $1$s Cesaro summable?

Question

Supongamos $a_n$ $b_n$ a Cesaro summable secuencias de ceros y unos, $a_n\in\{0,1\}$$b_n\in\{0,1\}$, es decir, de los límites $$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}a_n,$$ y $$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}b_n,$$ no existen.

Es el producto de la secuencia de $c_n=a_nb_n$ siempre Cesaro summable?

Answer 1

No. Deje $a_n = 1$ fib $n$ es incluso. Deje $b_n = 1$ fib $n$ tiene un número par de dígitos y es O, incluso, tiene un número impar de dígitos y es impar. (Escriba $n$ en base 10.)

Claramente $a_n$ es Cesaro summable con suma $\frac12$. $b_n$ es también Cesaro summable con suma $\frac12$; para ver esto, observe que $\sum_{i=1}^N b_i = 1 + \sum_{i=1}^N a_i$ para todos los impares $N$.$^{1}$

Sin embargo, hemos $$a_n b_n = 1 \ffi n \text{ tiene un número par de dígitos y es aún}$$ que no es Cesaro summable, ya$^{2}$ $$\begin{align*} \frac{\sum_{i=1}^{10^{2k} - 1} a_i b_i}{10^{2k} - 1} &= \frac{9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-2} + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-4} + \cdots + 9 \cdot 5}{10^{2k} - 1} \\ &= \frac{45 \cdot (100^k - 1)/(100-1)}{100^k - 1} \\ &= \frac{45}{99} = \frac{10}{22} \end{align*}$$ mientras que $$\begin{align*} \frac{\sum_{i=1}^{10^{2k+1} - 1} a_i b_i}{10^{2k+1} - 1} &= \frac{9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-2} + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-4} + \cdots + 9 \cdot 5}{10^{2k+1} - 1} \\ &= \frac{45 \cdot (100^k - 1)/(100-1)}{10 \cdot 100^k - 1} \\ &< \frac{45 \cdot (100^k - 1)/(100-1)}{10 (100^k - 1)} \\ &= \frac{45}{990} = \frac{1}{22}. \end{align*}$$

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$^{1}$: Más detalle sobre esto: Para cada $i \ge 2$, $i$ es incluso y $i+1$ no es uniforme. Por lo $a_i + a_{i+1} = 1 + 0 = 1$. Por otra parte, si $i$ tiene un par o un número impar de dígitos, ya que $i$ incluso $i+1$ tiene el mismo número de dígitos, lo que significa que $b_i + b_{i+1} =$ $0 + 1$ o $1 + 0$, pero de cualquier manera $= 1$. Así que cuando $N$ es impar, $a_i + a_{i+1} = b_i + b_{i+1}$ por cada $i$$2$$N-1$, por lo que $$\sum_{i=2}^{N} b_i = \sum_{i=2}^{N} a_i.$$ Desde $a_1 = 0$$b_1 = 1$, se deduce que $$\sum_{i=1}^{N} b_i = 1 + \sum_{i=2}^{N} a_i.$$

$^{2}$: Más detalle sobre esto: La cantidad $$\sum_{i=1}^{10^{2k}-1} a_i b_i$$ es el número de enteros con en la mayoría de las $2k$ dígitos que tiene un número par de dígitos y son incluso. Para cualquier $j$, $1 \le j \le k$ él número de números con $2j$ dígitos es $9 \cdot 5 \cdot 10^{2j-2}$: hay $9$ opciones para el primer dígito (de modo que el número de dígitos es exactamente $2j$ y no menos), $2$ opciones para la media del $2j - 2$ dígitos, y $5$ opciones para el último dígito ($0, 2, 4, 6,$ o $8$, para hacerla aún).

Por lo tanto, esto da $$\sum_{i=1}^{10^{2k} - 1} a_i b_i = 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-2} + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-4} + \cdot + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2} + 9 \cdot 5.$$ Asimismo, a partir de $a_i b_i = 0$ para un número con un número impar de dígitos (en particular, para un número de con $2k + 1$ dígitos), $$\sum_{i=1}^{10^{2k+1} - 1} a_i b_i = \sum_{i=1}^{10^{2k} - 1} a_i b_i = 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-2} + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2k-4} + \cdot + 9 \cdot 5 \cdot 10^{2} + 9 \cdot 5.$$

Answer 2

COMENTARIO

Vamos a tener cuidado aquí... aun cuando el producto de la suma no puede ser Cesaro summable, que todavía puede ser limitada. ¿Cómo podemos hacer sentido de Cauchy-Schwarz desigualdad de aquí?

$$\underbrace{\left( \frac{1}{N}\sum a_n b_n\right)^2 }_{C^2} \leq \left(\frac{1}{N}\sum a_n^2\right) \left(\frac{1}{N}\sum b_n^2\right) = \underbrace{\left(\frac{1}{N}\sum a_n\right)}_{A} \; \; \underbrace{\left(\frac{1}{N}\sum b_n\right)}_{B}$$

En cierto sentido, la suma de los productos nunca puede conseguir una mayor que la raíz cuadrada del producto o de la media geométrica.

$$C \leq \sqrt{A \times B}$$

Recuerde que $a, b = 0$ o $1$, de modo que $a^2 = a$, ya que el $0^2 = 0, 1^2 = 1$.

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UN PAR DE MANERAS DE PENSAR ACERCA DE CESARO SUMA

Podemos imaginar la secuencia de $a_1, a_2, a_3 \dots$ como en los resultados de una variable aleatoria $A \in \{0,1\}$ (más correctamente, un sistema dinámico). Entonces podríamos intentar definir una expectativa:

$$\mathbb{E}(A) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum a_n$$

Por desgracia, este límite podría no existir. En una escala de la fracción de 0 podría ser $\frac{1}{2}$ en una escala mayor que la fracción puede ir a $\frac{1}{3}$. Uno de los más grandes y de mayor escala que la relación podría alternar entre el$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$. Así que en lugar, podemos definir dos densidades:

$$\overline{\mathbb{E}(A)} = \limsup_{N \to \infty} \frac{\sum a_n}{N} = \overline{d(A)} \hspace{0.25in}\text{ vs }\hspace{0.25in} \underline{\mathbb{E}(A)} = \liminf_{N \to \infty} \frac{\sum a_n}{N}=\underline{d(A)}$$

En lugar de una expectativa de una variable aleatoria, estamos tomando la parte superior e inferior de la densidad del conjunto de $A = \{ n\in \mathbb{N}: a_n = 1\}$. Entonces nos preguntamos:

$$\overline{d(A)}=\underline{d(A)} \hspace{0.25in}\text{ and }\hspace{0.25in} \overline{d(B)}=\underline{d(B)} \hspace{0.25in}\longrightarrow?\hspace{0.25in} \overline{d(A\cap B)}=\underline{d(A\cap B)}$$

Esta notación se está volviendo un poco denso para mí, así que no estoy contento con él, pero al menos es más estándar.

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CONSTRUCCIÓN

El Cauchy Schwartz desigualdad básicamente dice $\mathbb{E}(AB) \leq \mathbb{E}(A)\mathbb{E}(B)$. Si sabemos que $\mathbb{E}(A) = \frac{1}{2}$$\mathbb{E}(B) = \frac{1}{2}$, no sabemos nada acerca de la expectativa $\mathbb{E}(AB)$ (o, equivalentemente, la densidad de $d(A \cap B)$.

Siquiera es un número?

Esta es una declaración acerca de cómo los conjuntos de $A$ $B$ están correlacionados. Podemos mostrar que $A$ $B$ se relaciona de diversas maneras y a diferentes escalas, de tal manera que $d(A \cap B)$ no converge a cualquier límite.

Si $d(A) = d(B) = \frac{1}{2}$, la densidad de la intersección podría ser cualquier número $0 \leq d(A \cap B) \leq \frac{1}{2}$. De hecho, durante cualquier intervalo finito ciertamente podríamos tener $|A \cap B \cap [1, N]|$ ser cualquier número entre el$0$$\frac{N}{2}$.

En el intervalo de $[0,N]$ deje $A \cap B$ han densidad de $0$ y en $[N, 2N]$ deje $A \cap B$ han densidad de $\frac{1}{2}$. Más generalmente deje $A \cap B$ han

• densidad de $0$ en el conjunto de $[2^{2k} N, 2^{2k+1}N]$
• densidad de $\frac{1}{2}$ en el conjunto de $[2^{2k+1} N, 2^{2(k+1)}N]$

Este comportamiento debe conducir a un conflicto de comportamiento entre la parte superior e inferior de las densidades $\overline{d(A\cap B)}$$\underline{d(A\cap B)}$.

• $|A \cap B \cap [0, 2^{2k+1}]| < \frac{1}{2}2^{2k}$ , de modo que $\underline{d(A \cap B)} < \frac{1}{2}\frac{2^{2k}}{2^{2k+1}} = \frac{1}{4}$

• $|A \cap B \cap [0, 2^{2k}]| > \frac{1}{2}(2^{2k-1} + 2^{2k-3})$ , de modo que $\overline{d(A \cap B)} > \frac{\frac{1}{2}(2^{2k-1} + 2^{2k-3})}{2^{2k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{5}{16}$

No es tan dramático como me gustaría, pero nos han mostrado $\underline{d(A \cap B)} < \frac{1}{4}$, y sin embargo $\overline{d(A \cap B)} > \frac{5}{16}$ por lo tanto $d(A \cap B)$ no existen... sino $d(A \cap B) \notin \mathbb{R}$.

Answer 3

Un contra-ejemplo que puede ser más sencillo de lo que 6005 es:

Definir incluso la longitud de los marcos de tamaño $2^n$$n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Definir secuencias de $\{a_k\}$ $\{b_k\}$ periódicamente alternar entre 0 y 1 en cada fotograma. Así que el Cesaro promedio es de 1/2 para ambas secuencias. Pero en el extraño marcos tienen ellos alineados (por lo $a_kb_k=a_k$ impares marcos). Incluso en los marcos tienen ellos alineados (por lo $a_kb_k=0$ incluso en marcos).

Ilustración (con impar marcos de la etiqueta):

$$\begin{align} &\{a_k\}: \: [ 10 ] \: [1010] \: [10101010] \: [1010101010101010]...\\ &\{b_k\}: \underbrace{[10 ]}_{frame 1} [0101] \: \underbrace{[10101010]}_{frame 3} \: [0101010101010101]... \end{align}$$