Un tetraedro dentro de otro tetraedro. ¿Podría el tetraedro contenido tener un perímetro mayor que el exterior?

Question

Supongamos que tienes un tetraedro. No tiene por qué ser regular. Ahora supongamos que tenemos otro tetraedro contenido dentro del primer tetraedro. De nuevo no supongas que es regular y no supongas que ambos tetraedros son similares. ¿Podría ocurrir que el perímetro del tetraedro del interior sea mayor que el del tetraedro del exterior? Pruébalo o no. Haz una prueba por contradicción.

Esta es difícil. Llevo mucho tiempo dándole vueltas a este problema y no veo la forma de llegar a una solución razonable. ¡La ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

El tetraedro con vértices $$ (1,0,0) \qquad (\cos\tfrac{2\pi}3,\sin\tfrac{2\pi}3,0) \qquad (\cos\tfrac{4\pi}3,\sin\tfrac{4\pi}3,0) \qquad (0,0,0) $$ tiene un perímetro $3\sqrt3+3$ y contiene el tetraedro con vértices $$ (1,0,0) \qquad (\cos\tfrac{2\pi}3,\sin\tfrac{2\pi}3,0) \qquad (\cos\tfrac{4\pi}3,\sin\tfrac{4\pi}3,0) \qquad (1,0,0) $$ que tiene un perímetro $5\sqrt3$ .

(Ambos tetraedros son degenerados, para facilitar el cálculo; para un ejemplo no degenerado, sustituya $(0,0,0)$ en el tetraedro exterior con $(0,0,\varepsilon)$ y sustituir uno de los $(1,0,0)$ en el tetraedro interior con $(1-\delta)(1,0,0) + \delta(0,0,\varepsilon)$ , donde $\varepsilon$ y $\delta$ son positivos y pequeños).

Tetaedro exterior, aproximadamente:

Tetraedro interior, aproximadamente:

Answer 2

Tomando el caso bidimensional, llamamos $ \Sigma $ suma de las longitudes de las aristas.

Dividir cada longitud en la proporción p (1-p) donde p < 1.

Reducción del perímetro del triángulo interior $ \Sigma_p $ < $ \Sigma $

Encuentra un punto dentro del tetraedro y utiliza la proyección de similitudes paralelas para escalar q < 1

en un nuevo plano paralelo.

$ \Sigma_{p q} $ < $ \Sigma_p $ < $ \Sigma $ .

Lo anterior es válido para cualquier proyección del subconjunto de triángulos de la cara del tetraedro interior.

Es cierto para el superconjunto por simple inducción matemática.