Intersección de subcampos no algebraicos

Question

Construya un ejemplo en el que un campo $F$ es de grado 2 en dos subcampos distintos $A$ y $B$ pero para que $F$ no es algebraico sobre $A\cap B$ .

Me cuesta pensar en un ejemplo explícito.

Answer 1

Dejemos que $F=\mathbb{Q}(\pi,i)$ con $A=\mathbb{Q}(\pi)$ y $B=\mathbb{Q}(i\pi)$ . Entonces $F$ no es algebraico sobre $A\cap B=\mathbb{Q}$ .

Answer 2

He aquí otro ejemplo, puramente geométrico. Considere $\Bbb Q$ y el campo $\Bbb Q(t)$ de funciones racionales en una variable. Su $F$ será $\Bbb Q(t)$ . Tiene dos automorfismos evidentes de orden dos, a saber $\sigma(t)=-t$ y $\tau(t)=2-t$ . El campo fijo de $\sigma$ es "cuadrático bajo" F, de hecho este campo fijo es $\Bbb Q(t^2)$ que será su $A$ .

Del mismo modo, se ve que el campo fijo de $\tau$ es $\Bbb Q((t-1)^2)$ porque $\tau(t-1)=1-t=-(t-1)$ . Así que su $B$ será $\Bbb Q((t-1)^2)$ . Ahora afirmo que $A\cap B=\Bbb Q$ . De hecho, algo fijado por ambos $\sigma$ y $\tau$ será fijado por $\sigma\circ\tau$ que envía $t$ primero en $2-t$ y luego a $2+t$ . Pero esto es la traducción por $2$ unidades, y las únicas funciones racionales que se fijan bajo una traslación son las constantes.