$A \times A \times A$ suele definirse como $(A \times A) \times A$ cuando se ha definido el producto cartesiano de dos conjuntos. Esto corresponde a su primera visión de $\mathbb{R}^3$ .
Por otro lado, también se definen potencias de conjuntos, a saber $A^B$ se define como el conjunto de todas las funciones de $B$ a $A$ . Definición del número natural $n+1$ como el conjunto $\{0,\ldots,n\}$ (y $0 = \emptyset$ ), como es habitual, podemos definir $A^n$ como el conjunto de todas las funciones del conjunto $n$ a $A$ .
Es bastante fácil ver que podemos identificar un $f \in A^2 = A^{\{0,1\}}$ con su tupla de valores $(f(0), f(1))$ y así con $A \times A$ como producto cartesiano, y de forma similar $A^3$ con $(A \times A) \times A$ etc., de modo que (hasta las biyecciones obvias; los conjuntos no son lo mismo que los conjuntos puros, pero pueden identificarse fácilmente utilizando biyecciones "triviales" o "naturales") podemos considerar las potencias de un conjunto como productos iterados (como tenemos para los números). La visión de $\mathbb{R}^n$ como $n$ -corresponde a la vista de la "potencia" de forma más natural, pero como se ha dicho, se identifica fácilmente con los productos cartesianos iterados también.
Ver también esta respuesta Por ejemplo
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La respuesta probablemente dependerá de cómo se defina $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ . Un enfoque típico es definir $(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ como $((x_1,\ldots, x_{n-1}),x_n)$ . Sin embargo, también se podría definir como una función de $\{0,1,\ldots, n-1\}$ en $\mathbb{R}$ (en tu caso). Sin embargo, al final no importa realmente; hay una forma natural de moverse entre cualquiera de estas construcciones, por lo que no creo que debas fijarte demasiado en las diferencias entre las opciones anteriores en lo que respecta a su uso.
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math.stackexchange.com/questions/338319/ Me gusta pensar en el operador producto como asociativo. Mientras entiendas que hay una biyección natural para establecer la asociatividad, eres libre de definirlos de varias maneras diferentes.