Explosión de un par de líneas que se cruzan

Question

Tengo la irreductible variedad $X=\mathbb{V}(x_1x_2)\subset\mathbb{A}^2$, que es un par de líneas que se intersecan transversalmente, y me gustaría calcular el blow-up en el origen.

El anillo de Rees de la ideal $(x_1,x_2)\subset k[x_1,x_2]/(x_1x_2)$ es el graduado de anillo $$R:=\frac{k[x_1,x_2]}{(x_1x_2)}\big[x_1t,\,x_2t\big],$$ where $\deg(t)=1$ and $\deg(x_1)=\deg(x_2)=0$. The blow-up of $X$ is $\mathrm{Value}(R)$. On the affine patch $x_1t\neq 0$, the ring of functions on the blow-up is the degree $0$ piece of $R[1/(x_1t)]$, which is generated (as a $k$-algebra) by $x_1$ and $\frac{x_2}{x_1}$. The relation $x_1x_2=0$ can be written in terms these generators: $x_1x_2=x_1^2\frac{x_2}{x_1}$, so the affine patch $x_1t\neq 0$ es isomorfo a $$ \mathrm{Spec}\;\frac{k\left[x_1,\frac{x_2}{x_1}\right]}{(x_1^2\frac{x_2}{x_1})}=\mathrm{Spec}\;\frac{k[a,b]}{(a^2b)}, $$ donde he escrito $a=x_1$, $b=\frac{x_2}{x_1}$. Este es un problema, porque el golpe de algo más reducido aún debe ser reducido, y esto no lo es. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Deje$S=k[x,y]$ con$xy=0$, lo prefiero de esta manera. Entonces,$R=S[xt,yt]$ como dijiste. Ahora localizas en$xt$, esto significa$R_{xt}=S[xt,yt,(xt)^{-1}]$. Tenga en cuenta que$y\cdot xt = 0$, por lo que$y = y \cdot xt \cdot (xt)^{-1} = 0$ también. Por lo tanto,$R_{xt} = k[x,xt,(xt)^{-1}]$. Si tomas la parte del grado$0$ de este anillo con respecto a la calificación de Rees, entonces deberías obtener$(R_{xt})_0=k[x]$, lo que significa que el parche afín del estallido es solo una línea.