¿Conductores y su carga?

Question

¿Por qué el exceso de carga positiva se queda en la superficie de un conductor?

Esto es lo que he entendido: ¿Cómo se reparte la carga positiva en los conductores?

y otros recursos en la web:

• Si hay un campo eléctrico en el interior del conductor, los electrones serán atraídos.
• Por lo tanto, no puede haber ningún campo dentro del conductor
• De la ley de Gauss se deduce que no hay cargas en el interior

Mis preguntas:

• Si hay cargas positivas en el interior del conductor, éstas atraerán a los electrones. Pero los electrones ya están siendo atraídos por el núcleo al que pertenecen, así que ¿por qué iban a moverse? Todos los electrones ya tienen campos eléctricos que actúan sobre ellos (el campo eléctrico del núcleo), así que ¿por qué iba a suponer una diferencia añadir otros nuevos?

• Si las cargas positivas se distribuyen en la superficie, el campo sólo sería cero justo en el centro. Los campos se cancelarían en el centro debido a la simetría, pero el campo en cualquier otro lugar que no sea el centro sería distinto de cero. Entonces, ¿cómo podrían los electrones estar en equilibrio?

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Answer 1

La propiedad que define a un conductor es que la carga es libre de moverse dentro de él. Por lo tanto, si existiera un campo eléctrico dentro del medio conductor, la carga se movería hasta que el campo fuera nulo. De ello se deduce que $\vec{E} = 0$ en el interior de un conductor.

Por lo tanto, la ley de Gauss implica: $$ \rho=\epsilon_0\nabla\cdot\vec{E}=0, $$

desde $\vec{E} = 0$ dentro de la masa del conductor, todo el exceso de carga debe residir en la superficie.

Para responder específicamente a sus dos preguntas;

• En un metal, los electrones fluyen libremente como un fluido. No están asociados a ningún núcleo en particular.
• Los cargos harán lo que sea necesario para que el campo sea cero por dentro. Esto define cómo actúa la carga en la superficie. Tu suposición de que conoces la distribución de la carga y a partir de ahí puedes determinar el campo es al revés.

Answer 2

Esta respuesta es físicamente la misma que la aceptada, pero con algunas fórmulas más.

La única suposición que necesitas es la conservación local de la carga (intuitiva) y la ley de Gauss. Consideremos la ecuación de continuidad de la carga: $$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla.\mathbf J=0$$ $$\mathbf J=\sigma \mathbf E \tag{ definition of conductors}$$

$$\,\,\,\,\rho=\epsilon\nabla.\mathbf{E} \tag{ Gauss's law}$$ por lo que encontramos que $$\rho(\mathbf r, t)=\rho_0(\mathbf r)e^{-\sigma t/{\epsilon}} $$

Suponiendo un buen conductor ( $\sigma\gg 0$ ), esta relación nos dice que la densidad de carga abandona el volumen muy rápidamente (instantáneamente para un conductor perfecto). Debido a la conservación global de la carga eléctrica, la carga no puede desaparecer sin más, y residirá en la superficie del conductor.

Answer 3

Empecemos por la definición de un conductor "perfecto":

Un cuerpo en el que los electrones son libres de moverse bajo la acción de un campo eléctrico.

• Corolario-1 : En condiciones electrostáticas el campo dentro de un conductor debe ser cero.

  Supongamos, por el contrario, que en el interior de un conductor existiera un campo distinto de cero. Entonces el campo actuaría sobre los electrones moviéndolos hasta que los propios electrones produjeran un campo que anulara el campo externo. Como en condiciones electrostáticas no hay movimiento de cargas, el campo en la masa debe ser cero.

• Corolario-2 La densidad de carga en cualquier punto dentro de un conductor debe ser idéntica a cero, lo que implica que cualquier exceso de carga debe estar en la superficie.

  Esto es simple. De acuerdo con la Ley de Gauss: $$\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon}$$

  Desde $\mathbf{E}$ es cero dentro del conductor, la densidad de carga también es cero.

Ahora, volviendo al problema dado, supongamos que tenemos un conductor perfecto y que, por algún mecanismo, eliminamos algunos electrones del conductor, dándole así una carga positiva.

La carga se redistribuye ahora de la siguiente manera:

• Si hay cargas positivas en el interior del conductor, éstas atraerán a los electrones. Pero los electrones ya están siendo atraídos por el núcleo al que pertenecen, así que ¿por qué iban a moverse? Todos los electrones ya tienen campos eléctricos que actúan sobre ellos (el campo eléctrico del núcleo), así que ¿por qué iba a suponer una diferencia añadir otros nuevos?

Respuesta Sí, el núcleo también atrae a los electrones, pero los conductores son sustancias en las que esta fuerza no es tan fuerte en comparación con las fuerzas externas debidas al campo externo, por lo que los electrones están sueltos y son libres de moverse.

Sin embargo, en los aislantes, esta fuerza de atracción del núcleo es fuerte y los electrones no son libres de moverse.

• Si todas las cargas están en la superficie, ¿cómo está el conductor en equilibrio?

Respuesta: En un conductor, una carga superficial experimentará una fuerza en presencia de un campo eléctrico. Esta fuerza es el promedio del campo eléctrico discontinuo en la carga superficial. Este promedio en términos del campo justo fuera de la superficie asciende a: $$ P =\frac{\sigma^2 }{2\epsilon} $$ donde $\sigma $ es la densidad de carga superficial.

Esta presión tiende a atraer al conductor hacia el campo, independientemente del signo de la carga superficial, pero al mismo tiempo las fuerzas mecánicas (tensión mecánica) del conductor contrarrestan esta presión electrostática y el conductor se mantiene en equilibrio.

Answer 4

Abordemos su segunda pregunta. Supongamos que hay un conductor neutro al principio. Ahora se le transfiere una carga positiva. Veamos qué ocurre con un pequeño elemento de carga.

1. Experimenta el campo eléctrico de los electrones y protones que lo componen.
2. Experimenta la repulsión eléctrica de los otros "elementos de carga".

Como el conductor es neutro, podemos decir que (en promedio) la densidad de carga positiva (debida a los protones constituyentes) y la densidad de carga negativa (debida a los electrones en continuo movimiento) se anulan mutuamente en todos y cada uno de los puntos de la masa del conductor. Así que el efecto neto de [1] es cero.

Veamos ahora cómo afecta la parte restante del exceso de carga (carga libre) al elemento de carga en cuestión. Como se trata de cargas similares, inducen a la repulsión. El elemento de carga infinitesimal siente una fuerza de repulsión y trata de alejarse de la posición inicial. Pero recuerde: esto ocurre con cada "elemento de carga". Por lo tanto, se trata de un proceso no lineal: cada elemento se aleja bajo la fuerza de repulsión, esto redistribuye la distribución de carga restante, que a su vez modifica la fuerza de repulsión sobre cada elemento individual, etc. ¿Cuánto tiempo continúa esto? Hasta que la carga libre se haya redistribuido (según la forma del conductor) para alcanzar una configuración de energía mínima. Una vez alcanzada esta configuración, podemos deducir lo siguiente:

1. El grueso del conductor no tiene ningún cargo gratuito.
2. No hay campo eléctrico neto en NINGÚN punto (no sólo en el centro) dentro del conductor.

Si hubiera alguna distribución de carga libre no constante en el interior, el potencial interior variaría de un punto a otro. Y sería posible bajar más la energía de la configuración transfiriendo carga desde algún punto con un potencial más alto a un punto con un potencial más bajo. Dado que la energía PODRÍA bajarse, esto sugiere que habría una tendencia a hacer lo mismo: es decir, habría un campo eléctrico distinto de cero en cada punto. Por lo tanto, esta configuración particular sería propensa a la redistribución. En realidad es muy sencillo, mientras haya una fuerza desequilibrada en cualquier punto de una distribución de carga particular, la carga se reordenará. Y seguirá haciéndolo hasta que ninguno de los puntos tenga un campo eléctrico finito: es decir, hasta que alcance la configuración de energía mínima.

Answer 5

En un conductor, los electrones están poco ligados a un solo núcleo, ya que están significativamente influenciados por múltiples núcleos al mismo tiempo, esto permite a los electrones moverse de un núcleo a otro con facilidad y esta facilidad es la razón por la que los llamamos electrones libres.

Entonces, ¿qué sucede cuando sacamos algunos electrones de algún lugar y damos carga positiva?
Las cargas positivas se repelen y atraen a los electrones. Como los electrones no están muy unidos a ningún núcleo en particular, se mueven hacia la carga positiva. Lo que ocurre es que si la carga positiva estaba en el centro, los electrones empiezan a moverse radialmente y dejan carga positiva (ausencia de electrones) desde donde vienen, esto a su vez atrae a los electrones más lejos del centro y el proceso continúa hasta que la carga llega a la superficie.

Entonces, ¿por qué el campo en todas partes se convierte en 0, cuando las cargas están distribuidas uniformemente? En primer lugar, un punto importante es que desde dentro de su es el equilibrio de los núcleos y los electrones no tienen campo neto de su propia.
Ahora supongamos una cáscara esférica, si la cortamos por el centro, tenemos 2 hemisferios igualmente cargados que hacen que el campo sea cero en el centro; sin embargo, si la cortamos por cualquier otro lugar tendremos dos partes desigualmente cargadas que anulan el campo en el lugar respectivo.

Ahora, para responder a su pregunta de la recompensa.
Supongamos que se tiene una esfera conductora neutra y se introduce una carga positiva en su centro. Los electrones se mueven radialmente hasta que la carga positiva llega a la superficie. Como no queda carga neta dentro de la superficie de la esfera obtenemos un campo eléctrico de magnitud cero dentro de la esfera de acuerdo con la ley de Gauss.
El campo eléctrico de magnitud cero también puede entenderse como que si en un punto determinado algunas cargas están cerca, entonces a más distancia existen tantas cargas que el campo eléctrico se hace cero. Existen cargas iguales a igual distancia con respecto al centro y cargas desiguales a distancias desiguales para otros puntos.