Tangente de una recta

Question

Acabo de regresar de un examen de matemáticas en mi EF Calc clase, y no estoy de acuerdo con mi maestro en este problema. Somos el uso de derivados para determinar las ecuaciones de las líneas tangentes a una ecuación dada. La ecuación dada fue: $f(x) = 27$

Mi respuesta fue: "No hay Solución. No una Curva." Mi maestro respondió diciendo que $y = 27$ era la respuesta correcta. Mi argumento es que estas dos líneas tienen un número infinito de intersecciones, mientras que mi maestro dice que sólo se cruzan una vez. Por lo tanto, mi pregunta es si dos líneas con la misma ecuación se cruzan una o infinitamente.

Pido disculpas si esta pregunta es de menor grado de dificultad que el resto de la web, pero este parecía el mejor lugar para preguntar. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x) = 27$ significa que cada $x \in \Bbb R$ $f$ devuelve el valor $27$. Esta es una función bien definida. Aunque no es una función inyectiva, (¿recuerdas la definición?).

Otorga la línea tangente a la gráfica de $f$ $x_0$: $$y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0).$$ If $f$ is constant, its derivative is zero at every point. And the value at every point is just a constant. Hence: $$y - 27 = 0\cdot (x-x_0) \implies y = 27.$$ So $y=27$ is the equation of the line you seek. At every point of the graph, the line is the same. Here we don't have a "tangent" line, as you have noticed. You can think of that line as the optimal linear approximation to the function near the point. So it is natural to conclude that for linear functions $f(x) = ax + b $ (our particular case is $ a = 0 $ and $b = 27$), la línea de "tangente" será la misma función.

Answer 2

El problema de fondo que confunde usted es decidir qué es lo que significa para una línea tangente a una curva.

En el caso particular de los círculos, lo que ocurre es que las tangentes a un círculo son precisamente esas líneas rectas que tiene exactamente un punto en común con el círculo. Es tentador para hacer de esto una definición, pero en realidad no funciona bien para las curvas otros de los círculos (y un grupo de suficientemente círculo-como curvas, tales como la elipsis, es decir, suave convexo cerrado de las curvas). El problema es que el mundial de la propiedad de la intersección entre el círculo exactamente una vez no realmente captura la esencia local de la intuición de lo que significa ser una tangente, es decir, que "tiene la misma dirección de la curva" en el punto de tangencia.

Por ejemplo, el de una intersección, punto de definición implicaría que el eje de una parábola es tangente a ella, lo que intuitivamente debería ser absurdo -- el eje es perpendicular a la parábola, no es tangente a ella.

Resulta que no es del todo sencillo para definir las tangentes de curvas arbitrarias, que es básicamente, encontrar una definición operativa fue el problema del cálculo fue originalmente inventado para hacer, y yo no se puede sugerir cualquier definición de trabajo que no impliquen el cálculo, ya sea abierta o disfrazada. (Voy a ofrecer para tratar de derribar a cualquier otra propuesta de definición intuitiva de motivos, pero que depende de nosotros, de acuerdo con lo que la intuición de que "tiene la misma dirección que la curva" que significa).

Al final parece que usted sólo tiene que aceptar que el cálculo basado en la definición (o de la familia de las definiciones) de la "tangente" es lo que la comunidad matemática ha decidido colectivamente usar la palabra "tangente" para cuando estamos hablando de curvas arbitrarias. Esta definición da el resultado esperado por las tangentes a los círculos, y también produce tangentes que de acuerdo con la intuición para las curvas que da tangentes en todo. También es muy útil en la práctica, y la utilidad además de la coherencia con el caso restringido de los círculos es suficiente para hacer una buena definición.

Answer 3

Me temo que tu profesor tiene razón. Si las líneas tienen la misma ecuación, son las mismas líneas. No hay necesidad de buscar las intersecciones. Sin embargo, la línea tangente sólo a la ecuación $f(x) = 27$ es $y=27$, ya que cada $x$, la pendiente de la tangente es 0, que es una línea recta $y=27$.