El casino convierte el 50% de sus pérdidas en "juego gratis", ¿las probabilidades están a su favor?

Question

Como promoción por tiempo limitado, si juegas durante tu primera semana en este casino, y sufres una pérdida neta de dinero, el casino te dará la mitad de tus pérdidas (hasta una determinada cantidad) como "juego gratis", o sea, dinero en efectivo sólo utilizable para más juegos.

Me parece que para un simple juego de máquinas tragaperras, en el que se ordena que la retribución sea $95\%$ (promedio) de lo que apuestes, esto inclina las probabilidades a tu favor.

¿Cuál es una estrategia óptima/muy buena (mayor % de rendimiento medio) utilizando máquinas tragaperras (o cualquier cosa) para aprovechar este escenario? ¿Están las probabilidades a su favor con esta estrategia?

Considere una máquina con $95\%$ pago y un $50/50$ resultado binario (perderlo todo o no): Me parece la estrategia más sencilla, encontrar una máquina que tome $1.00$ y tiene un $50\%$ posibilidad de pagar $1.90$ y $50\%$ posibilidad de pagar $0.00$ está a favor de uno, ya que la mitad de las veces que perderías, puedes recuperar la mitad y apostar $0.50$ para un $50/50$ pago de $0.95$ o $0$ (en una apuesta de $0.50$ ), para un resultado medio total de $1.90\times0.5 + 0.95\times0.25 + 0\times0.25 = 1.1875$ en un $1.00$ apuesta, o una ganancia de $0.1875$ .

Sé que se puede resolver el problema como un caso binario generalizado (dinero o no dinero) de dos acciones (igual que el anterior) dado un pago obligatorio de $95\%$ y alguna probabilidad de ganar (como $50\%$ arriba), y maximizar el resultado medio.

Las pérdidas sufridas con el "juego libre" no son $50\%$ canjeable como con los fondos originales.

Answer 1

Tomemos como ejemplo la ruleta (americana), con resultados $\color{green}{0, 00}$ junto con $1$ - $36$ mitad rojo, mitad negro.

Si pones $\$ 100 $ on black, you have an $ \dfrac{18}{38} \Aproximadamente 47,37%. $ chance of walking away with $\$200$ y un $\dfrac{20}{38} \approx 52.63\%$ posibilidad de salir de allí habiendo $50$ "créditos de casino", con los que puedes volver a apostar.

Lo mismo ocurre cuando vuelves a apostar, sólo que en este momento, tu $47.36\%$ oportunidad es sólo para irse incluso, en el otro caso has perdido tu dinero para siempre.

Ahora su valor esperado de tal escenario es (aproximadamente)

$$\frac{18}{38}(\$ 100) + \frac{18}{38} \cdot \frac{20}{38}( \$0) + \frac{20}{38}\cdot\frac{20}{38}(-\$ 100) \N-aproximadamente \$19.67.$$

Si un árbol de resultados extremadamente tosco le ayuda, ¡está de suerte!

Tenga en cuenta, sin embargo, que su probabilidad de salir doblando su dinero es exactamente la misma, sólo que ahora tiene una probabilidad no nula de no perderlo todo eso es distinto a duplicar tu dinero. Esto es lo que hace que cualquier secuencia de apuestas tenga un valor esperado positivo.

Answer 2

Su análisis es bueno. Puedes hacerlo aún mejor si encuentras una máquina que pague un bote grande con poca frecuencia. Digamos que encuentras una que paga 100 por una apuesta de 1, pero sólo lo paga $0.0095$ del tiempo. Si juegas una vez tu expectativa es $0.95$ . Es casi seguro que perderás. Su segunda jugada tiene una expectativa de $0.475$ con la posibilidad de que lo hagas de $0.9905$ Así que su expectativa general es $0.95+0.475\cdot 0.9905$ un poco más grande que $1.42$ . El límite para las probabilidades infinitas es $1.425$ Así que ya casi hemos llegado.

Para la segunda jugada, no importa la máquina que utilices mientras la expectativa sea $0.95$

Answer 3

Tal y como has definido el juego, puede que no sea posible superar nunca la cantidad de dinero inicial. (Así que probablemente necesites estipular más en el enunciado de tu problema). Supongamos que con probabilidad $1$ pierdes $5\%$ de lo que apuestes cada vez que juegues (por tanto, 0,95 de ratio de valor esperado por jugar, como has dicho), pero luego recuperas la mitad de tus pérdidas cuando quieras debido a las reglas que has estipulado. Entonces, si juegas, siempre acabarás con menos dinero del que empezaste, independientemente de cuánto juegues o de lo que apuestes.

Answer 4

Dado que un casino cubre el 50% de las pérdidas y hay que volver a apostar y

Dado que una máquina sólo tiene dos resultados:

• Pierdes todo tu dinero con probabilidad $p$ .
• Si no, usted gana
• La máquina debe pagar una media del 95% de lo apostado

Se puede demostrar que si se deja de jugar cuando se gana, el pago esperado (¡arriesgado!) es

$$ 0.95 (1.5 - 0.5p) = E\space [MoneyOut / MoneyIn] $$

que puede ser mayor que $1$ .

Para el caso de que siempre se gane ( p=1 ), el problema está restringido ya que no puedes perder y por lo tanto no puedes aprovechar la promoción, mientras que incluso "ganando" sigues perdiendo un 5% debido al pago del 95%, y puedes ver que enchufando p=1 en los rendimientos de 0,95.

Para p=0.5 , donde se pierde la mitad de las veces, obtenemos 1,1875 como en el ejemplo de la pregunta; el beneficio de la promoción comienza a mostrarse.

Si la apuesta está muy sesgada ( p=0.01 ) donde es casi seguro que pierda, el pago medio alcanza su máximo: 1,425 o 0,95*1,5, que es bastante más que 1.

Esto tiene sentido. La promoción sólo funciona si pierde la primera apuesta. Para maximizar el pago medio, contraintuitivamente debes maximizar tu probabilidad de perder, al menos durante la primera apuesta.