Demostrar que $(1007!)^2 > \binom{2015}{1007}^2$

Question

Demostrar que $(1007!)^2 > \binom{2015}{1007}^2$ .

Esto equivale a demostrar que $1007! > \binom{2015}{1007}$ . Entonces obtenemos que esto es equivalente a $$(1007!)^2 > \dfrac{2015!}{1008!} = 2015 \cdot 2014 \cdots 1009.$$ ¿Cómo lo demostramos?

Answer 1

Considere los ratios $$A_n=\frac{(2n+1)!}{n!^2(n+1)!}$$ El objetivo es demostrar que $$A_{1007}<1$$ Para ello, calcule $$A_8=\frac{2431}{4032}<1$$ y observe que $$\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{2(2n+3)}{(n+1)(n+2)}<1$$ por cada $n\geqslant3$ ya que la diferencia del denominador y el numerador es $$n^2-n-4\geqslant(n-3)(n+2)$$ Esto demuestra que $$A_n<1$$ por cada $n\geqslant8$ .

Answer 2

Voy a seguir el comentario de Maman (que agradezco calurosamente), la primera que tuvo la idea de mostrar una declaración más general: $n!>\binom{2n+1}{n}$ .

Demostramos por inducción (¿qué más?) que $n!>\binom{2n+1}{n}$ para $n\geq 8$ (8 proviene de esta evaluación wolframalpha ).

Para $n=8$ está bien. Paso inductivo. Para $n\geq 8$ , $$(n+1)!=(n+1)n!>(n+1)\binom{2n+1}{n}\stackrel{?}{\geq}\binom{2n+3}{n+1}.$$ Así que tenemos que verificar que $$\frac{(2n+1)!}{n! n!}\geq \frac{(2n+3)!}{(n+1)! (n+2)!},$$ es decir $$(n+1)^2(n+2)\geq (2n+3)(2n+2)$$ que es válida para $n\geq 8$ .

Answer 3

Usted obtiene $(1007!)^2$ en comparación con $\frac{2015!}{1008!}$ . La segunda expresión es un producto de $1007$ enteros. La primera expresión es el producto de $2014$ enteros. Si los tomas en pares cuidadosamente elegidos, puedes tener el producto de cada par mayor que cada factor de la segunda expresión.