Que $A$ $B$ ser simétricos invertible operadores en un espacio de Hilbert $X$. Supongamos que $$ \langle Ax, x \rangle \leq \langle Bx, x \rangle $$ cada $x\in X$. ¿Sigue que $\langle A^{-1} x ,x \rangle \geq \langle B^{-1} x , x \rangle$? ¿Y en el caso dimensional finito?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es cierto incluso en el caso dimensional finito. Que $A=A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$ y $B=B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}$. Entonces $\langle Ax,x\rangle\leq \langle Bx,x\rangle=|x|^2$ % todo $x\in\mathbb C^2$, pero con $x=(0,1)$ obtenemos $\langle A^{-1}x,x\rangle=0\not\geq1=\langle B^{-1}x,x\rangle$.
user44513
Puntos
6
Esto es cierto si se supone que los operadores a ser positiva, en el sentido de que $\langle Ax,x \rangle \geq 0$ todos los $x \in X$. De hecho, se tiene la siguiente, más general, el resultado:
La proposición. Deje $\mathcal A$ $C^*$- álgebra y $0 \leq a \leq b$ $a,b\in \mathcal A$ $a$ invertible. A continuación, $b$ es invertible y $0 \leq b^{-1} \leq a^{-1}$.
Aquí, $a \geq 0$ significa que $a$ es Hermitian y $\sigma(a) \subseteq [0,\infty)$ donde $\sigma(a)$ es el espectro de $a$. Escribimos $a \geq b$ si $a-b \geq 0$. En el problema original, $\mathcal A$ sería el álgebra de operadores acotados en $X$ y la positividad se traduce a la propiedad $\langle Ax,x \rangle \geq 0$ todos los $x \in X$.
La prueba puede ser encontrado aquí, la Proposición 7.23 (está en alemán, pero me puede traducir si hay algún interés).
