Infinito - cálculo infinito

Question

$$\lim_{x\to\infty} (x-1)e^{-1/x}-x$$

Sé que este límite es igual a $-2$ pero no sé cómo probarlo. Sólo puedo llegar a $\infty-\infty=?$

Answer 1

Usted puede usar $e^{-1/x} = 1 - \tfrac 1x + O(\tfrac 1{x^2})$:

$$\begin{align} \lim{x\to\infty} (x-1)e^{-1/x}-x & = \lim{x\to\infty} (x-1)(1 - \tfrac 1x + O(\tfrac 1{x^2}))-x \ &= \lim{x\to\infty} (x-1) + -\tfrac 1x(x-1) + O(\tfrac 1{x^2})-x \ &= \lim{x\to\infty} x-1 + -1 +\tfrac 1x + O(\tfrac 1{x^2})-x \ &= \lim_{x\to\infty} -2 +\tfrac 1x + O(\tfrac 1{x^2})\ &= -2 \end {Alinee el} $$