La solución de Schrödinger, ecuación con la de Crank-Nicolson método

Question

Estoy tratando de resolver numéricamente Schrödinger, ecuación con Cayley de expansión ($\hbar=1$) $$\psi(x,t+\Delta t)=e^{-i H\Delta t}\psi(x,t)\approx\frac{1-\frac{1}{2}i H\Delta t}{1+\frac{1}{2}i H\Delta t}\psi(x,t)$$ y segundo orden de la aproximación de diferencias finitas para el espacio de derivados $\psi''(x)\approx\frac{\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{\Delta x^2}$, como se describe en Recetas Numérica.

El Hamiltoniano es que de una dimensión de oscilador armónico ($m=1$): $H=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}kx^2$.

Lo que me acaban de computación es este sistema de ecuaciones lineales con un 3-banda de la matriz en cada paso de tiempo: $$(1+\frac{1}{2}iH\Delta t)\psi_j^{n+1}=(1+\frac{1}{2}iH\Delta t)^*\psi_j^n$$ o explícitamente $${\boldsymbol A}{\boldsymbol \Psi}^{n+1}={\boldsymbol A}^*{\boldsymbol \Psi}^n\;,$$ donde los elementos de la diagonal principal de a ${\boldsymbol A}$ $d_j=1+\frac{i\Delta t}{2m\Delta x^2}+\frac{i\Delta t}{4}x_j^2$ y la de los elementos en la parte superior e inferior de las diagonales se $a=-\frac{i\Delta t}{4m\Delta x^2}$.

Para la condición inicial i seleccione el estado coherente, para lo cual existe una solución analítica. Mientras tratando de propagar la función de onda en pocos períodos de oscilación, la función de onda se distorsiona. Cuando el intervalo de tiempo es menor, las distorsiones que aparecen más adelante. Me pregunto cuál es la razón para este proceso, si tiene que ver con la condición de Courant y si existe una relación entre el tamaño del paso de tiempo y el comienzo de estas distorsiones.

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Aquí hay un video de propagación.

Answer 1

De Crank-Nicholson método es, efectivamente, la media de adelante (explícito) de Euler

$\psi(x,t+dt)=\psi(x,t) - i*H \psi(x,t)*dt$

y hacia atrás (implícito) método de Euler

$\psi(x,t+dt)=\psi(x,t) - i*H \psi(x,t+dt)*dt$

El retroceso componente hace de Crank-Nicholson método estable. El avance de componentes hace que sea más precisa, pero propenso a las oscilaciones. Si usted quiere deshacerse de las oscilaciones, el uso de un paso de tiempo más pequeña, o el uso de atrás (implícito) método de Euler. Que es todo allí está a él.

Tengo una idea aproximada de cómo estimar el tiempo que se tarda estas oscilaciones para mostrar a sí mismos. Estas oscilaciones se producen debido a que por la alta frecuencia de los armónicos en su solución, la condición de Courant es violado. Cuánto tiempo se necesita para que estas oscilaciones para mostrar depende de la cantidad de energía (en el sentido de la serie de Fourier) se contienen en la condición inicial. I. e., si el paso de tiempo es el dt, luego armónicos con frecuencias por encima de 1/dt (aproximadamente) son propensos a la inestabilidad. Encontrar la escala de longitud L correspondiente a la frecuencia 1/dt, hacer una expansión de Fourier de la condición inicial psi(x,0) y calcular la fracción de potencia de la serie de Fourier en longitudes de onda más corta que la de L. Cuando estos armónicos (inicialmente débil) crecen lo suficiente como para que sea comparable con el total de la señal, que se muestran. Suponiendo que crecen de manera exponencial, este escalas de tiempo como el logaritmo de la fracción.

Se estima que el tiempo parece demasiado problema para este problema. Sólo tiene que utilizar un paso de tiempo más pequeña y/o hacia atrás método de Euler.