Principio del argumento: número de ceros de $f(z)=\cos(z)-1 +z^2/2$ en el disco de la unidad

Question

Estoy tratando de trabajar en este viejo examen cualitativo.

Esta es la pregunta:

Hallar el número de raíces (contando las multiplicaciones) de la función $$f(z)=\cos(z)-1 + \frac{z^2}{2}$$ dentro del dominio $\vert z \vert <1$ .

Mi trabajo: Primero pensé en el teorema de Rouché. Pero luego pensé que $f(z)=z^4\left(\frac{1}{4!}-\frac{z^2}{6!}+\cdots\right)$ . Así que $f(z)=z^4 g(z)$ para alguna analítica función $g(z)$ tal que $g(0)\neq 0$ . Y luego utilicé el principio de argumentación para concluir que el número de ceros es $4$ . ¿Es esto correcto?

Además, ¿cómo puedo saber con seguridad que no hay otros ceros de $g$ dentro del disco de la unidad centrado en $0$ . ¿Alguna pista? Gracias

Answer 1

Desde $f$ es analítica en el dominio $D:=\{z:|z|<1\}$ el Principio de Argumentación dice que el número de ceros de $f$ en $D$ viene dada por $${1\over 2\pi i}\int_D {f'(z)\over f(z)}\,dz,$$ que calcularemos mediante el Teorema del Residuo.

En primer lugar, ampliando sobre $z=0$ , $${f'(z)\over f(z)}=\frac{4}{z}-\frac{z}{15}+\frac{z^3}{6300}+\frac{z^5}{189000}+\cdots,$$ así que por el Teorema del Residuo, $${1\over 2\pi i}\int_D {f'(z)\over f(z)}\,dz=\text{Res}(f'(z)/f(z),0)=4.$$

Por lo tanto, $f(z)$ tiene 4 ceros (contando las multiplicidades) en $D$ .