Determinando los homomorfismos del anillo$\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$

Question

Estoy tratando de encontrar la forma correcta de determinar los homomorfismos de anillo entre$\mathbb{Z}[i]$, los enteros gaussianos y$\mathbb{Z}$.

En particular, estoy casi seguro de que no hay homomorfismos no triviales entre estos dos anillos, pero no entiendo cómo probarlo.

Answer 1

Tenemos $$\phi(1)=\phi(1^2)=\phi(1)^2\ ,$de % $ % que $\phi(1)=1$o $\phi(1)=0$. Si $\phi(1)=1$ entonces también $$\phi(i)^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1$ $ (el último paso es fácil de probar) y esto es imposible desde $\phi(i)\in{\Bbb Z}$.

Por lo tanto, $\phi(1)=0$; se deduce fácilmente que $\phi(a)=0$ % todos $a\in{\Bbb Z}$y así %#% $ #%

Answer 2

En general, tenemos por un anillo conmutativo $R$ con la unidad:

$$\operatorname{Hom}(\mathbb Z[i],R) = \{f \in \operatorname{Hom}(\mathbb Z[X],R) ~ | ~ f(X)^2+1=0 \} = \{r \in R ~|~ r^2+1=0\}.$$

Homomorphisms de $\mathbb Z[i]$ a cualquier anillo son las mismas que las soluciones de la ecuación de $r^2+1=0$.

La primera igualdad ist él fundamental homomorphism teorema: Un mapa de los factores de más de un cociente si y sólo los correspondientes ideal se asigna a cero.

La segunda igualdad es la característica universal del polinomio anillo. Un mapa de un polinomio anillo de más de $S$ $S$- álgebra es la misma que la elección de un elemento de la $S$-álgebra.

Answer 3

Estás en lo correcto. No hay ninguna que no sea trivial homomorphisms $\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$.

Supongamos por contradicción que existe un trivial homomorphism $\phi:\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$. Tenga en cuenta que $\phi(1) = \phi(1\cdot1) = \phi(1)\phi(1) = \phi(1)^2$. Por lo tanto, $\phi(1) = \phi(1)^2$ $1 \mapsto x$ si y sólo si x es idempotente en $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, $\phi(1) = 0$ o $\phi(1)=1$. Si $\phi(1)=0$, $\phi$ de inmediato es trivial ya que homomorphisms son multiplicativos, y tenemos una contradicción. Supongamos ahora que $\phi(1)=1$. Entonces, para cualquier unidad de$u \in \mathbb{Z}[i]$,$\phi(u)\phi(u^{-1}) = \phi(1) = 1$, lo que implica que las unidades en $\mathbb{Z}[i]$ mapa de las unidades en $\mathbb{Z}$.

Desde la asignación de $1 \in \mathbb{Z}[i]$ ha sido tomada por supuesto, las asignaciones para el resto de las 3 unidades en $\mathbb{Z}[i]$, es decir,$-1, i, -i$, todavía por determinar. Dado que las únicas unidades en $\mathbb{Z}$$\pm 1$, y, por otra parte, estas unidades son de su propia inversos, tenemos dos alternativas binarias para las asignaciones de las restantes unidades: $\phi(-1) = 1$ o $\phi(-1) = -1$, e $\phi(i) = \phi(-i) = 1$ o $\phi(i) = \phi(-i) = -1$.

En primer lugar, supongamos por contradicción que $\phi(-1) = 1$. Entonces, se deduce que el $-\phi(1) = -1 \neq 1 = \phi(-1)$. Esto implica que $\phi(0) = \phi(-1+1) = \phi(-1) + \phi(1) \neq 0$. Sin embargo, es cierto en general para el anillo de homomorphisms que \begin{align*} \phi(0) &= \phi(0) + 0 \\ &= \phi(0) + (\phi(0) - \phi(0)) \\ &= \phi(0 + 0) - \phi(0) \\ &= \phi(0) - \phi(0) \\ &= 0 \end{align*} Esta es una contradicción. Por lo tanto, $\phi(-1) = -1$. Sin embargo, si esto se mantiene, se sigue que \begin{align*} -1 &= \phi(-1) \\ &= \phi(i^2) \\ &= \phi(i)\phi(i) \\ &\stackrel{(1)}{=} \phi(i)\phi(-i) \\ &= \phi(i\cdot(-i)) \\ &= \phi(1) \\ &= 1 \end{align*} (1): Desde $\phi(i) = \phi(-i)$, independientemente de nuestra segunda asignación de elección

Esta también es una contradicción. De ello se desprende que ninguno de los dos decisiones necesarias para la asignación de -1 son factibles y tenemos una contradicción con la suposición de que $\phi(1) = 1$. Por lo tanto, $\phi(1) = 0$ $\phi$ debe ser trivial, como se muestra anteriormente.

Answer 4

Tome un anillo homomorphism $\phi:\Bbb Z[i] \to \Bbb Z$. Necesitamos $\phi(1)$ ser $0$ o $1$, ya que el $\phi(1) = \phi(1^2) = \phi(1)^2$. Si $\phi(1) = 0$, entonces el homomorphism es trivial, ya que $$\phi(a + bi) = \phi(1(a + bi)) = \phi(1)\phi(a+bi) = 0$$ Por lo tanto, si $\phi$ es no trivial, entonces necesitamos $\phi(1) = 1$.

A continuación, $\phi(0) = 0$, ya que cualquier anillo homomorphism es un grupo homomorhism en el grupo de adición en el ring. Esto significa que $$0 = \phi(0) = \phi(1-1) = \phi(1) + \phi(-1)$$ lo que implica que $\phi(-1) = -1$.

Luego tenemos a $\phi(i)$. Sabemos que $\phi(i)^2 = \phi(i^2) = -1$, pero que no existe ningún elemento en $\Bbb Z$, así que esto es imposible.

Por lo tanto, $\phi$ debe ser el trivial homomorphism.

Answer 5

$0=\varphi(0)=\varphi(1+i^2)=\varphi(1)+\varphi(i)^2$

En particular $-\varphi(i)^2=\varphi(1)$ es idempotent, lo $\varphi(i)^2=0$ o $\varphi(i)^2=-1$. El segundo caso es imposible, así $\varphi(i)=0$ y $\varphi(1)=0$ demasiado.