Comprobando que $(C[0,1], \|\cdot\|_1)$ no es Banach.

Question

Quiero comprobar que $(C[0, 1], \|\cdot\|_1)$ no es un espacio de Banach, donde $$\|f\|_1 = \int_0^1 |f(x)|\,{\rm d}x.$$

Tomé $(f_n)_{n \geq 1}$ una secuencia en $C[0, 1]$ dado por: $$f_n(x) = \begin{cases} nx, &\text{ if } x < \frac{1}{n} \\ 1, &\text{ if } x \geq \frac{1}{n} \end{cases} $$

Si $m > n$ calculé: $$\|f_m - f_n\|_1 = 1 - \frac{n+1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{n}{2}\left( \frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2} \right)$$

Es intuitivo que la secuencia es Cauchy, pero no sé cómo formalizarlo exactamente usando la definición de una secuencia Cauchy. Enviando $m,n$ a $+\infty $ al mismo tiempo da intuitivamente cero, pero no me parece riguroso.

¿Cómo puedo formalizar esto? $m,n \to \infty$ ?

Probar que la secuencia no converge también parece intuitivo, obtendríamos una especie de línea vertical, no una función. Pero tampoco estoy seguro de cómo enfocar esto - lo único que se me ocurre es algún tipo de contradicción - supongamos que $f_n \to f$ y encontrar $\epsilon > 0 $ tal que $\|f_n - f\| > \epsilon $ para valores infinitos de $n$ .

¿Está la idea anterior en el camino correcto?

Gracias.

Answer 1

Creo que estás haciendo una estimación demasiado enrevesada, probablemente porque intentas calcular $\|f_n-f_m\|_1$ exactamente. Lo que yo haría: asumir $m>n$ Entonces $f_m=f_n=1$ para $x>1/n$ y así $$ \|f_m-f_n\|_1=\int_0^{1/n}|f_m-f_n|\leq\frac2n $$ desde $|f_n|\leq1$ , $|f_m|\leq1$ . Esto demuestra que la secuencia es Cauchy, porque dada $\varepsilon>0$ , si $m>n>2/\varepsilon$ entonces $\|f_m-f_n\|_1<\varepsilon$ .

Editar: El problema de tu ejemplo es que el límite está en C $[0,1]$ es la función constante $1$ . De hecho, $$ \|1-f_n\|_1=\int_0^{1/n}(1-nx)\,dx=\frac1n-\left.\frac{nx^2}2\right|_0^{1/n}=\frac1{2n}\to0. $$

Edición 2: Para conseguir lo que quiere, un $\|\cdot\|_1$ -Cauchy que no converge en $C[0,1]$ puede intentar algo como $$ f_n(t)=\begin{cases}0,&\ 0\leq t\leq 1/2-1/2n,\\ nt\,&\ 1/2-1/2n\leq t\leq 1/2+1/2n,\\ 1,&\ 1/2+1/2n\leq t\leq 1 \end{cases} $$

Answer 2

Una pista: considere $m>n, m = n + h$ y demostrar que la expresión converge a $0$ a una velocidad independiente de $h$ . En otras palabras: demostrar que

$$ \sup_{h>0} \left\| f_{n+h} - f_n \right\| \to 0 $$ cuando $n\to\infty$ .