Problema 6 en la página 47 de Marcel B. Finan es Un Curso Básico en la Teoría de los Intereses y de los Mercados de Derivados: Una Preparación para el Examen Actuarial FM/2 es:
Fondo de Una es invertido en una efectiva anual tasa de interés del 3%. Fondo B es invertido en un tipo de interés efectivo anual de 2.5%. Al final de los 20 años, el total de los dos fondos es de 10.000. Al final, de 31 años, la cantidad en el Fondo de Una es el doble de la cantidad en el Fondo B. Calcular el total de los dos fondos en la final de los 10 años.
Esta pregunta aparece después de toda una sección acerca del interés compuesto, así que estoy asumiendo que el rendimiento de los fondos de interés compuesto. Así, llamando a los directores de las $P_A,P_B$, los hechos dados son
- $P_A1.03^{20}+P_B1.025^{20}=10000$ y
- $P_A1.03^{31}=2P_B1.025^{31}$.
La recomposición del primero de los rendimientos $P_B=(10000-P_A1.03^{20})/1.025^{20}$, y el uso que en la segunda ecuación rendimientos $$P_A1.03^{31}=2\frac{10000-P_A1.03^{20}}{1.025^{20}}1.025^{31}=2(10000-P_A1.03^{20})1.025^{11}$$ i.e. $$P_A(1.03^{31}+2\cdot1.03^{20}1.025^{11})=20000\cdot1.025^{11}$$ i.e. $$P_A=\frac{20000\cdot1.025^{11}}{1.03^{31}+2\cdot1.03^{20}1.025^{11}}.$$ Using that in the recasting of the first equation yields $$P_B=\left(10000-\frac{20000\cdot1.025^{11}}{1.03^{31}+2\cdot1.03^{20}1.025^{11}}1.03^{20}\right)/1.025^{20}\\=\frac{10000\cdot1.03^{31}+20000\cdot1.03^{20}1.025^{11}-20000\cdot1.025^{11}1.03^{20}}{(1.03^{31}+2\cdot1.03^{20}1.025^{11})1.025^{20}}\\=\frac{10000\cdot1.03^{11}}{1.03^{11}1.025^{20}+2\cdot1.025^{31}}.$$ We wish to find $P_A1.03^{10}+P_B1.025^{10}$: using these last values for $P_A,P_B$, we have $$\frac{20000\cdot1.025^{11}}{1.03^{31}+2\cdot1.03^{20}1.025^{11}}1.03^{10}+\frac{10000\cdot1.03^{11}}{1.03^{11}1.025^{20}+2\cdot1.025^{31}}1.025^{10}$$ which a calculator tells me is $7569.073\ldots$. No dudo de la respuesta, pero resulta difícil creer que se esperaba para hacer todo eso. Hay un camino más corto?
