La integral

Question

Aquí

Hay una fórmula general para $I(m,n)$?

Pedí una fórmula general para $\ I(m,n):=\int_0^{\infty} \frac{x^m}{x^n+1}dx$.

Es la fórmula $$I(m,n)=\frac{\pi}{n\sin((m+1)\frac{\pi}{n})}$$ true for every pair $\ (m,n)\ $ of real numbers with $\ 0\le m\le n-2\ $ and not just for non-negative integers with $\ 0\le m\le n-2\ $ ?

Me preguntaba si hay una similar forma cerrada para

$$J(m,n):=\int_0^1 \frac{x^m}{x^n+1}dx$$

Me di cuenta de que $$I(m,n)=J(m,n)+J(n-2-m,n)$$ holds for $0\le m\le n-2$.

Para $\ m=0\ $, el primer par de valores se

$$J(0,0)=\frac{1}{2}$$ $$J(0,1)=\ln(2)$$ $$J(0,2)=\frac{\pi}{4}$$ $$J(0,3)=\frac{2\sqrt{3}\pi+\ln(64)}{18}$$ $$J(0,4)=\frac{\pi+2\coth^{-1}(\sqrt{2})}{4\sqrt{2}}$$ $$J(0,5)=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{1}{10}(5+\sqrt{5})}\pi+\frac{1}{20}(\ln(16)+2\sqrt{5}\coth^{-1}(\frac{3}{\sqrt{5}}))$$ $$J(0,6)=\frac{\pi+\sqrt{3}\ln(2+\sqrt{3})}{6}$$

Hay una fórmula general para $\ J(m,n)\ $ y es para todos los pares de $\ (m,n)\ $ de los números reales con a $\ 0\le m\le n-2$ ?

Answer 1

No existe una forma cerrada para $$ J(m,n):=\int_0^1 \frac{x^m}{x^n+1}dx \tag1 $$ in terms of the digamma function $\psi(\cdot)$.

La proposición. Deje $m=1,2,\cdots$$n=1,2,\cdots$. Uno tiene $$ J(m,n)=\frac1{2n} \psi\left(\frac{m+n+1}{2n}\right)-\frac1{2n}\psi\left(\frac{m+1}{2n} \right) \tag2 $$

a continuación, utilizando $$ \psi\left(r+1\right)-\psi\left(r \right)=\frac1r,\quad r \in \mathbb{Q}^*,\tag3 $$ and $$ \psi\left(\frac{m}{2n}\right) = -\gamma\ln(4n) -\frac{\pi}{2}\cuna\left(\frac{m\pi}{2n}\right) +2\sum_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{\pi km}{n} \right) \ln\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \quad (m<2n)\tag4 $$ uno tiene una forma cerrada en términos de un número finito de funciones elementales.

Sugerencia. Por el cambio de variable, $x=u^{1/n}$, $dx=\dfrac1n u^{1/n-1}du$, uno puede escribir $$ \begin{align} J(m,n)&=\int_0^1 \frac{x^m}{x^n+1}dx \\&=\frac1n \int_0^1 \frac{u^{\frac{m+1}{n}-1}}{1+u}du \\&=\frac1n \int_0^1 \frac{u^{\frac{m+1}{n}-1}(1-u)}{1-u^2}du \\&=\frac1{2n} \int_0^1 \frac{v^{\frac{m+n+1}{2n}-1}}{1-v}dv-\frac1{2n} \int_0^1 \frac{v^{\frac{m+1}{2n}-1}}{1-v}dv \\&=\frac1{2n} \psi\left(\frac{m+n+1}{2n}\right)-\frac1{2n}\psi\left(\frac{m+1}{2n} \right) \end{align} $$ a continuación, se puede concluir con Gauss, digamma teorema.

Edit. Para cualquier número real $a, b$ tal que $a>0$ $b>0$ hemos $$ \int_0^1 \frac{x^a}{x^b+1}\:dx=\frac1{2b} \psi\left(\frac{a+b+1}{2b}\right)-\frac1{2b}\psi\left(\frac{a+1}{2b} \right) $$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\mrm{J}\pars{m,n} \equiv \int_{0}^{1}{x^{m} \over x^{n} + 1}\,\dd x:\ ?}$.

\begin{align} \mrm{J}\pars{m,n} & \equiv \int_{0}^{1}{x^{m} \over x^{n} + 1}\,\dd x = \int_{0}^{1}{x^{m} - x^{m + n} \over 1 - x^{2n}}\,\dd x\quad \pars{\begin{array}{l} \mbox{Multiply numerator an denominator} \\ \mbox{by}\ds{\quad 1 - x^{n}} \end{array}} \\[5mm] & \stackrel{x^{2n}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, {1 \over 2n}\int_{0}^{1}{x^{\pars{m + 1}/\pars{2n} - 1} - x^{\pars{m + n + 1}/\pars{2n} - 1} \over 1 - x}\,\dd x \\[5mm] & = \bbox[#ffe,15px,border:1px dotted de la marina]{\ds{{1 \over 2n}\bracks{% \Psi\pars{m + n + 1 \over 2n} - \Psi\pars{m + 1 \over 2n}}}}\qquad \pars{~\Psi:\ Digamma\ Función~} \end{align} Hemos utilizado la identidad de $\color{#000}{\mathbf{6.3.22}}$: $\ds{\Psi\pars{z} + \gamma = \int_{0}^{1}{1 - t^{z - 1} \over 1 - t}\,\dd t\,,\ \Re\pars{z} > 0}$. $\ds{\gamma}$ es la de Euler-Mascheroni Constante.