¿La serie del coseno convergen o divergen?

Question

Realiza la serie de coseno

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos (\pi n)}{n}$$

convergen o divergen?

Answer 1

Es una serie alterna donde el numerador es $-1$ o $1$. Denominador es el aumento lineal. Cumple la prereqs ser condicionalmente convergente.

Answer 2

La serie converge, de hecho tenemos $$ \sum{n=1}^\infty\frac{\cos\pi n} {n} = \sum {n = 1} ^ \infty\frac {(-1) ^ n} {n} =-\sum_ {n = 1} ^ \infty\frac {(-1) ^ {n+1}} {n} =-\ln2. $$

Answer 3

Converge.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(\pi n\right) }{n} =-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\left(-1\right)^k \frac{1}{k} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right) $$ Integral de la prueba para la convergencia:

$\sum_{n=N}^{\infty} f(n)$ converge si $\int_{N}^{\infty}f(x)dx$ converge.

$\sum_{n=N}^{\infty} f(n)$ diverge si $\int_{N}^{\infty}f(x)dx$ diverge.

$$ \int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x-1}\right)dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x}{2x-1}\right|\bigg|_1^\infty=\frac{1}{2}\left(\ln{2}-\ln{1}\right)=\frac{\ln 2}{2}$$

La serie converge debido a que la integral converge. Se pueden consultar otras convergencias de prueba como el d'Alamber de la prueba.