¿Existen conjuntos cerrados disjuntos que contengan secuencias que se acerquen arbitrariamente entre sí?

Question

Tenía una pregunta de curiosidad. Tome el intervalo $(0,1)$ con la métrica habitual en $\mathbb{R}$ . ¿Es posible encontrar conjuntos cerrados $X$ y $Y$ con $X\cap Y=\varnothing$ tal que existe una secuencia $\{x_n\}$ en $X$ y $\{y_n\}$ en $Y$ donde $\lim_{n\to\infty}\vert x_n-y_n\vert=0$ ?

Me cuesta imaginarme esto, pues veo los conjuntos cerrados como intervalos cerrados (o uniones finitas de ellos) en la recta real. Para que el límite se acerque a $0$ Intuyo que los puntos acaban agrupándose cerca de algún punto. Con intervalos abiertos, creo que se podrían tomar intervalos como $X=(a,b)$ y $Y=(b,c)$ con $0<a<b<c<1$ y esencialmente dejar que el $x_n$ acercarse arbitrariamente a $b$ desde abajo, y el $y_n$ cerrar arbitrariamente desde arriba. Pero estos no están cerrados, y al tomar los cierres, $[a,b]$ y $[b,c]$ ya no son disjuntos.

¿Hay alguna forma de evitar este inconveniente?

Answer 1

Sí. Por ejemplo, tome $X=\left \{ \frac{1}{2n} : n \in \mathbb{N} \right\}$ y $Y=\left \{ \frac{1}{2n+1} : n \in \mathbb{N} \right \}$ . $X$ y $Y$ son ambos cerrados en $(0,1)$ . Configurar $x_n=\frac{1}{2n}$ y $y_n=\frac{1}{2n+1}$ tenemos $\lim_{n \to \infty}|x_n-y_n|=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(2n)(2n+1)}=0$ .