Cómo demostrar que $(a+b)^p\le 2^p (a^p+b^p)$

Question

Si puedo preguntar, ¿cómo podemos derivar que $$(a+b)^p\le 2^p (a^p+b^p)$$ donde $a,b,p\ge 0$ es un número entero?

Answer 1

Suponiendo que $a,b,p\geq 0$

$$(a+b)^p\leq\left(2\cdot\max(a,b)\right)^p= 2^p\left[\max(a,b)\right]^p=2^p\max(a^p,b^p)\leq2^p\left(a^p+b^p\right)$$

Answer 2

Una pista: $$A^kB^{p-k}\leq A^p+B^p$$

Answer 3

De hecho, podemos hacer una afirmación más fuerte:

$$(a+b)^p\le 2^{p-1} (a^p+b^p)$$

si $a,b \ge 0$ . Como señala Mohammad Khosravi, esto equivale a

$$(x+1)^p\le 2^{p-1} (x^p+1)$$

si $x \ge 0$ . Lo demostramos por inducción. El caso $p=1$ es fácil: $x+1 \le x+1$ . Así que supongamos que hemos establecido que

$$(x+1)^{p-1}\le 2^{p-2} (x^{p-1}+1)$$

Entonces tenemos:

$$\begin{align} (x+1)^p & = (x+1)(x+1)^{p-1}\\ & \le 2^{p-2}(x+1)(x^{p-1}+1) \end{align}$$

Ahora sólo tenemos que demostrar que $2^{p-2}(x+1)(x^{p-1}+1) \le 2^{p-1} (x^p+1)$ o, por el contrario, que $2(x^p+1) - (x+1)(x^{p-1}+1) \ge 0 $ :

$$\begin{align} 2(x^p+1) - (x+1)(x^{p-1}+1) & = x^p-x^{p-1}-x+1 \\ & = (x-1)(x^{p-1}-1) \\ & = (x-1)^2(x^{p-2} + x^{p-3} + \ldots + x + 1) \\ & \ge 0 \end{align}$$

Answer 4

Utilizando La desigualdad de Jensen obtenemos para $p\ge1$ o $p\le0$ , $$ \left(\frac{A+B}2\right)^p\le\frac{A^p+B^p}2 $$ Que, al multiplicarse por $2^p$ , produce $$ (A+B)^p\le2^{p-1}(A^p+B^p) $$

Answer 5

Aplicando la desigualdad de Jensen sobre la función convexa $ f (x)=x^p $ , $ p> 1$