Definir las líneas tangentes verticales

Question

Al observar la definición de las líneas tangentes verticales en algunos textos de cálculo populares,

He notado que hay algunas definiciones diferentes para este término, incluyendo las siguientes:

Una función $f$ tiene una línea vertical tangente en $a$ si

$ \textbf {1)}$ $\;f$ es continua en $a$ y $ \displaystyle\lim_ {x \to a}\; \lvert f^{ \prime }(x) \rvert = \infty $

$ \textbf {2)}$ $\;f$ es continua en $a$ y $ \displaystyle\lim_ {x \to a} f^{ \prime }(x)= \infty $ o $ \displaystyle\lim_ {x \to a} f^{ \prime }(x)=- \infty $

$ \textbf {3)}$ $\; \displaystyle\lim_ {h \to0 } \frac {f(a+h)-f(a)}{h}= \pm\infty $

Quisiera preguntar si existe una definición estándar de este término, y si la definición debería incluir o no la continuidad en $a$ y no debe incluir la situación en la que el gráfico tiene una cúspide vertical en $a$ .

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A continuación se presentan algunos ejemplos en los que estas definiciones llevan a conclusiones diferentes:

a) $\;f(x)=x^{2/3}$

b) $\;f(x)= \begin {cases}1& \mbox {, if }x>0 \\0 & \mbox {, if }x=0 \\ -1& \mbox {, if }x<0 \end {cases}$

(Este pregunta también se ha publicado en la revista Math Educators Stack Exchange).

Answer 1

Como geómetra, quiero que la "tangencia" sea independiente del sistema de coordenadas. En particular, si $f$  es una función de valor real de una variable definida en alguna vecindad de  $a$ y si $f$  es invertible en alguna vecindad de  $a$ , entonces la línea $x = a$ debe ser tangente al gráfico $y = f(x)$ en  $a$ si y sólo si la línea $y = b = f(a)$ es tangente al gráfico $y = f^{-1}(x)$ en  $b$ .

Para un curso de cálculo elemental querría:

• $f$  continua en alguna vecindad de  $a$ ;

• $f$  invertible en alguna vecindad de  $a$ ;

• $f'(a) = \pm\infty$ es decir, $(f^{-1})'(b) = 0$ (el gráfico $y = f^{-1}(x)$ tiene $y = a$ como tangente horizontal).

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La condición 1 no garantiza la invertibilidad cerca de  $a$ (como muestra la cúspide), así que en mi libro está fuera.

La condición 2 implica los tres puntos de mi lista de deseos. ( $f$  se supone implícitamente diferenciable en alguna vecindad de  $a$ la condición de la derivada garantiza que la derivada no cambie de signo en alguna vecindad de  $a$ y que $f'(a) = \pm\infty$ .)

La condición 3 no implica continuidad (como muestra la función escalonada), así que está descartada.

Answer 2

Esta no es una respuesta completamente precisa, pero funciona el suficiente tiempo como para que la publique de todos modos.

Usted sabe que en circunstancias normales de $y$ en función de $x$ donde quiere encontrar un HORIZONTAL línea tangente, una forma es encontrar

${dy \over dx} = 0$

y resolver los valores de $x$ para el que este es el caso (nota: la función y su derivada deben ser continuas en los puntos donde la derivada es igual a 0 para garantizar una tangente horizontal).

En realidad, la ecuación anterior está preguntando "en qué puntos $x$ hace $y$ no cambiar cuando $x$ cambios?"

Pero si estoy viendo un VERTICAL línea tangente, realmente estoy preguntando la ecuación "en qué puntos $x$ hace $x$ no cambia cuando $y$ cambios?"

Entonces, en lugar de $dy \over dx$ En cambio, quiero saber cuándo

${dx \over dy} = 0$

para el que tanto $x$ y su derivada son continuas en los puntos donde ${dx \over dy} = 0$ .

Las tangentes verticales son más difíciles de definir cuando tomamos todo y como función de x porque (a menos que la función sea uno a uno) es difícil definir una cúspide vertical. En cambio, si definimos que existe una línea tangente vertical cuando:

• $x$ es continua y
• su derivado $dx \over dy$ es continua

podemos descartar las cúspides verticales, que no tienen una derivada continua.

Aunque no conozco una buena definición estándar, espero que ésta que me enseñaron te ayude a entender qué son las tangentes verticales.