Cómo encontrar todas las funciones tales que $f\left( x^{2} - y^{2} \right) = ( x - y )( f(x) + f(y) )$

Question

Encontrar toda función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f\left( x^{2} - y^{2} \right) = ( x - y )( f(x) + f(y) )$.

Mi intento:

Si $ x=y=0$ y $f(0)=0$ y
Si $x\leftarrow\frac{x+1}{2}$ y $y\leftarrow \frac{x-1}{2}$ y $f(x)=f\left( \frac{x+1}{2} \right)+f\left( \frac{x-1}{2} \right)$.

Pero ¿cómo encontrar todas las funciones?

Answer 1

Podemos demostrar que si una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ satisface $$f\left(x^2-y^2\right)=(x-y)(f(x)+f(y))\tag0$$ para todos los números reales $x$$y$, entonces no es una constante real número $k$ tal que $f(x)=kx$ para cada número real $x$.

En primer lugar, vamos a $y=x$ $(0)$ y consigue $f(0)=0$. A continuación, vamos a $x=1$ $y=-1$ $(0)$ y consigue $f(-1)=-f(1)$. Ahora, definir $k:=f(1)$$g(x):=f(x)-kx$. Así que tenemos $g(1)=g(-1)=0$ y el: $$g\left(x^2-y^2\right)+k\left(x^2-y^2\right)=(x-y)(g(x)+g(y)+k(x+y))$$ $$\therefore\quad g\left(x^2-y^2\right)=(x-y)(g(x)+g(y))\tag1$$ Por lo tanto, dejar $y=\pm1$ $(1)$ tenemos: $$g\left(x^2-1\right)=(x\pm1)g(x)$$ Por lo tanto, restando estas dos ecuaciones, llegamos a la conclusión de que $g(x)=0$ para cada número real $x$, lo que muestra que $f(x)=kx$ por cada $x$.

Answer 2

Podemos demostrar que $f(x)=-f(-x)$, por lo tanto $f(x)$ debe ser una función impar. Si $f(x)$ es una función polinómica entonces podemos escribirla como: %#% $ de #% también podemos demostrar que: %#% $ de #% (1) usando get: $$f(x)=\sum_{i=0}^\infty aix^{2i+1}\tag{1}$ $ y: $$f(x^2)=x\,f(x)\tag{2}$ $ usando (2) sabemos que (3) y (4) debe ser equivalente a que todas las $$f(x^2)=\sum{i=0}^\infty a_ix^{4i+2}=a_0x^2+a_1x^6+a2x^{10}+\cdots\tag{3}$ $$x\,f(x)=\sum{i=0}^\infty a_ix^{2i+2}=a_0x^2+a_1x^4+a_2x^6+\cdots\tag{4}$. Por lo tanto: $a_i=0$ $

Answer 3

Vamos a investigar el caso especial en que $f$ es continua.

Deje $k=f(1)$ y $$S=\{\,t\in\Bbb R\mid f(t)=kt\,\}. $$ Tratando de $x=y=0$ nos encontramos con $f(0)=0$. A continuación, con $y=-x$ nos encontramos con que $f(x)=-f(-x)$, es decir, $f$ es impar. A continuación, también se $S=-S$. Hasta ahora hemos $\{-1,0,1\}\subseteq S$. Con $y=0$, tenemos $$\tag1f(x^2)=xf(x)$$ por lo tanto $$\begin{align}f(x^2-y^2)&=(x-y)f(x)+(x-y)f(y)\\ &=\left(1-\frac yx\right)xf(x)+\left(\frac xy-1\right)yf(y)\\ &=\left(1-\frac yx\right)f(x^2)+\left(\frac xy-1\right)f(y^2).\end{align} $$ Ahora si $x^2,y^2\in S$ $$f(x^2-y^2)=\left(1-\frac yx\right)kx^2+\left(\frac xy-1\right)ky^2=kx^2-ky^2$$ y así también se $x^2-y^2\in S$. Más generalmente, si dos de los números de $x^2,y^2,x^2-y^2$$\in S$, luego los tres se $\in S$. Llegamos a la conclusión de que para dos números no negativos $\in S$, también su suma y la diferencia es $\in S$, lo que hace que $S$ a un subgrupo de $\Bbb R$. Entonces, al menos,$\Bbb Z\subseteq S$.

De $(1)$, podemos ver que $S$ es cerrado bajo tomando raíces cuadradas de los elementos positivos (es decir, $x^2\in S$ implica $x\in S$). Como un subgrupo, $S$ debe ser entonces un subconjunto denso de $\Bbb R$. Por la continuidad de $f$, la $S$ debe ser cerrado, por lo tanto todos los de $\Bbb R$, como iba a ser mostrado.