Encontrar todas las funciones diferenciables $f:[0;2] \to \Bbb{R}$ tal que $\int_{0}^{2}xf(x)dx=f(0)+f(2)$

Question

Hallazgo de todos diferenciable funciones $f:[0;2] \to \Bbb{R}$, $f'$ continuo, tal que la función $e^{-x}f(x)$ está disminuyendo en $[0;1]$ y aumento en $[1;2]$ y $\int_{0}^{2}xf(x)dx=f(0)+f(2)$.

Yo estoy atascado con este problema. Tomando el $g(x)=e^{-x}f(x)$, tenemos $g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$, que $f'(x)\le f(x)$ $x \in [0,1]$ y $f'(x)\ge f(x)$ $x\in [1;2]$.

Answer 1

Poner $g(t)=\exp(-t)f(t)$. Tenemos: $\displaystyle\int_0^1 tf(t)dt=\int_0^1 t\exp(t) g(t)dt$ e integrando por partes:

$$\int_0^1 tf(t)dt=\big [(t-1)\exp(t)g(t)\big ]_0^1 -\int_0^1 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt=f(0)-\int_0^1 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt$$

De la misma manera:

$$\int_1^2 tf(t)dt=\big [(t-1)\exp(t)g(t)\big ]_1^2 -\int_1^2 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt=f(2)-\int_1^2 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt$$

Así que tenemos:

$$f(0)+f(2)=f(0)-\int_0^1 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt+f(2)-\int_1^2 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt$ $ y por lo tanto

$$-\int_0^1 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt-\int_1^2 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt=0$$

Pero los dos términos son negativos, por lo tanto tenemos:

$$\int_0^1 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt=\int_1^2 (t-1) \exp(t)g^{\prime}(t) dt=0$$

$g^{\prime}$ Tiene un signo constante en $[0,1]$ y $[1,2]$, por lo que uno consigue $g^{\prime}=0$ y $f$ es necesariamente $c\exp(t)$ $c$ constante. Uno verificar que estas funciones son soluciones.