Teorema de nulidad de rango -bijection

Question

Deje $T:\Bbb R^n\to \Bbb R^n$ ser una transformación lineal. Cuál de las siguientes declaración implica que $T$ es bijective?

a) $\operatorname{Null}(T)=n$

b) $\operatorname{Rank}(T)=\operatorname{Null}(T)=n$

c) $\operatorname{Rank}(T)+\operatorname{Null}(T)=n$

d) $\operatorname{Rank}(T)-\operatorname{Null}(T)=n$

Creo que, desde el $T$ es uno de n en... de Nulidad será de cero... Así que la opción a) y b) son incorrectas..

Y c) y d) será correcto.. Pero la respuesta es la opción d). Yo no soy capaz de entender por qué la opción c) es incorrecta.

Answer 1

$(d)$ \begin{align} R(T)+N(T)=n\tag1\\ R(T)-N(T)=n\tag2 \end {align} Sabemos que$(1)$ se mantiene debido al teorema de la nulidad de rango. Por lo tanto, al resolver$(1)$ y$(2)$, obtenemos$R(T)=n$ y$N(T)=0$, lo que implica que$T$ es una biyección.

$(c)$ es una elección incorrecta. Considere$T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ de modo que$T(x_1,x_2)=(0,x_1).$$R(T)+N(T)=n$ se mantenga de todos modos. Pero este$T$ no es una biyección.

Answer 2

Además de la opción (d), la opción (b) es correcta. Si$n = 0$, entonces la consecuencia,$T$ es bijective, es verdadero. Por otro lado, si$n \ne 0$, entonces la premisa, que el rango es igual a la nulidad, es falsa. De cualquier manera, la implicación es verdadera.

Answer 3

La pregunta no es pedir cuál de las opciones será el caso si $T$ es un bijection, es como preguntar cual de estas demostrar que $T$ es un bijection. Su razonamiento para los dos primeros incorrecto es válido. $c$ ciertamente no implica que el $T$ es un bijection, ya que es sólo la declaración de la clasificación de nulidad teorema (para los mapas a partir de un número finito de dimensiones de espacio vectorial a sí mismo), el cual contiene para no invertible transformaciones. $d$ implica que las $T$ es un bijection, ya que si la nulidad fueron mayores que cero, el rango sería mayor que $n$, lo cual es imposible; por lo tanto, $T$ es inyectiva, y por lo tanto surjective.

Answer 4

La opción c) es incorrecta porque el mapa nulo no es biyectiva, pero la afirmación c) se cumple para ese mapa.

Answer 5

La declaración en la parte (c) es siempre verdadera; este es el teorema de la nulidad de rango!