Encontrar el orden de las permutaciones en $S_8$

Question

Considere el grupo $S_8$ . ¿Cuál es el orden de $\sigma = (4,5)(2,3,7)$ y $\tau = (1,4)(3,5,7,8)$ ?

Mi libro dice que debería usar un truco de el orden de una permutación expresada como producto de ciclos disjuntos es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos .

No entiendo muy bien el truco y me gustaría ver cómo funciona realmente el proceso de recuento aquí. Puedo contar para los no disjuntos como por ejemplo $(1,2,3,8)$ tiene el orden 4

No sé cómo contar $\sigma = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ 1 &3 &7 &5 &4 &6 &2 &8 \end{pmatrix}$

EDITAR Para que quede claro, la respuesta para la orden $\sigma$ es 6 y $\tau$ es el 4. Todavía estoy confundido en cuanto a cómo obtuvieron este

Tengo un conocimiento extremadamente pobre de este tema, así que por favor ayúdeme. Gracias

Answer 1

Así que toma $\sigma = (4,5)(2,3,7)$ . El orden, por definición, es el menor número natural $n$ tal que $\sigma^n = (1)$ (es decir, el elemento de identidad del grupo, es decir, el elemento que envía cada número a sí mismo). Como los ciclos $(4,5)$ y $(2,3,7)$ son disjuntos se tiene

$$\begin{align} \sigma^n &= (4,5)(2,3,7)(4,5)(2,3,7)\dots (4,5)(2,3,7)(4,5)(2,3,7)\\ &= (4,5)(4,5)\dots (4,5)(4,5)(2,3,7)(2,3,7)\dots (2,3,7)(2,3,7)\\ &= (4,5)^n(2,3,7)^n \end{align}$$

(nótese que los dos elementos $(4,5)$ y $(2,3,7)$ conmutación).

Así que el orden de $\sigma$ es exactamente el número natural más pequeño $n$ tal que $(4,5)^n = (1)$ y $(2,3,7)^n = (1)$ (piense en este hecho por un momento).

Pero ¿cuál es el orden de una cada de $(4,5)$ y $(2,3,7)$ ?

Bueno, el orden de $(4,5)$ es dos exactamente porque $(4,5)^2 = (4,5)(4,5) = (1)$ . El orden de $(2,3,7)$ es $3$ porque $$\begin{align} (2,3,7)^1 &= (2,3,7) \\ (2,3,7)^2 &= (2,7,3) \\ (2,3,7)^3 &= (1) \end{align}$$

Ahora no es difícil ver que el orden de $\sigma$ es exactamente el mínimo común múltiplo de $2$ y $3$ (ya que necesitamos ambos $(4,5)^m = (1)$ y $(2,3,7)^m = (1)$ y el más pequeño $m$ donde esto ocurre es exactamente el mínimo común múltiplo). Por lo tanto, la respuesta final es $6$ .

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Apéndice: Sólo quería añadir un poco sobre las órdenes de estos elementos. Primero hay que tener en cuenta que, por ejemplo, el elemento $(4,5)$ es sólo el elemento $$(4,5) = \begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 &5 & 4& 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}.$$ (Por lo tanto $4$ mapas a $5$ y $5$ a $4$ ). Así que cuando se compone (multiplica) el elemento consigo mismo, entonces se obtiene $$\begin{align} (4,5)(4,5) &= \begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 1 & 2 & 3 &5 & 4& 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 1 & 2 & 3 &5 & 4& 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 1 & 2 & 3 &4 & 5& 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} = (1) \end{align}$$ (Suelo escribir la identidad como $(1)$ ).

Esto significa que el orden de $(4,5)$ es $2$ . De la misma manera se encuentra que $$(2,3,7) = \begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 1 & 3 & 7 &4 & 5& 6 & 2 & 8 \end{pmatrix}.$$

Answer 2

Demuestra este sencillo lema: el orden de una permutación expresada como producto de ciclos disjuntos es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos.

Para demostrar lo anterior puedes utilizar el hecho (también fácilmente demostrable) de que dos ciclos disjuntos conmutan...

Answer 3

También encontramos el orden de la permutación mediante la fórmula ...... Si p,q es la permutación entonces o(pq) = L.C.M (longitud de p , longitud de q ) Por ejemplo:- (1 4) (3 5 7 8 ) Aquí la longitud de (1 4 ) es 2 y la longitud de (3 5 7 8) es 4 Entonces, el orden de (1 4) (3 5 7 8 )= L.C.M (2 ,4 )= 4