$7$ personas en una línea

Question

$7$ personas incluyendo $A$ y $B$ deben ser alineados. ¿Cuál es la probabilidad si habrá $1$ persona entre $A$y $B$? La respuesta está escrita como $$\frac{5!\cdot3!}{7!}$ $ pero no estoy seguro si es cierto. También hay una pregunta similar aquí, pero también no hay ninguna explicación clara para esta pregunta.

Answer 1

No, la respuesta que no es correcta. El numerador debe ser $5\cdot 5!\cdot2$ en lugar de $5!\cdot3!$. Una forma de ver esto es:

Elegir a una persona del resto de las $7-2=5$ poner entre $A$$B$. Esto se puede hacer en $5$ maneras. No tener en cuenta estas tres tres personas $AXB$ como uno y por lo que ha $4$ a otras personas a ser puesto en orden - $5$ en total con este (triple). Esto se puede hacer en $5!$ maneras. Ahora, hemos contado sólo arreglos con $AXB$ pero $BXA$ sería también ok, así que doble las maneras posibles. En suma tenemos $5\cdot 5!\cdot 2$ favorable maneras. Las posibles formas de se $7!$ que da la respuesta $$\frac{5\cdot5!\cdot2}{7!}=\frac{10\cdot5!}{5!\cdot6\cdot7}=\frac{5}{21}\approx0.238$$

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De otra manera (más seguro para evitar errores) es la siguiente:

1. Lugar de la persona $A$ en la posición $1$ y persona $B$ en la posición $3$. Ahora ponga las otras personas en la $5$ restante posiciones con $5!$ maneras.
2. Repita con las posiciones de $2$ y $4$, $3$ y $5$, $4$ y $6$$5$$7$. Esto le da a usted hasta ahora $5\times 5!$ favorable maneras. Pero esperar que todos ellos son de la forma $AXB$. Así que el doble de ellos, porque $BXA$ es también aceptar.

Así, ha $5\times 5!\times 2$ favorable maneras y todas son. Dividir con las posibles formas de $7!$ a concluir.

Answer 2

Ya tienes muchas respuestas, le estoy dando otro sólo para hacer hincapié en que para los problemas de probabilidad , a menudo es más fácil contar combinaciones en lugar de permutaciones.

Y $2$ $5$ "especiales" "otros", es fácil ver que hay solo $5$ favorable "sándwiches"

$\large\circ\bullet\circ\bullet\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\circ\bullet\circ\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\circ\bullet\circ\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\circ\bullet\circ\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\circ\bullet\circ$

contra $\binom72 = 21$ total combos,

así $Pr = \dfrac5{21}$

Answer 3

A y B se ordenan de maneras de $2$. Entonces la persona entre ellos puede seleccionarse en 5 maneras. Siendo un bloque de $3$-personas, hay $5!$ posibles permutaciones desde $4$ personas $+ 1$ bloque forma. Entonces el número de dicha configuración es $10 \cdot 5!$ pero hay maneras de #% de #% % pueden ser arregladas en general por lo que la probabilidad es $7!$ $

Answer 4

Teniendo en cuenta cinco personas pueden ser arregladas en $5!$ maneras. Para cada arreglo $A$ y $B$ pueden ser parte de la primera persona o la segunda persona o... o la quinta persona - cinco posibilidades. $A$ puede ser antes de la $B$ o después de $B$ - dos posibilidades. Como otros han señalado esto es $5!\times 5 \times 2$ maneras.

Answer 5

Los arreglos son como a continuación. Deje que la persona entre a y B X

AXB----

-AXB---

--AXB--

---AXB-

----AXB

Dadas estas en uno de ellos, la X puede ser elegido en ${5\choose1}$ y los otros 4 excluyendo AXB podría ser dispuestos en 4! maneras. También a y B, se permutan en 2! maneras. Por lo tanto para un caso, hay $5.2.4! = 2.5!$ maneras. De nuevo multiplicar por 5 para todos los cinco casos y que serían $5.2.5!$ maneras. El número total de maneras de 7 personas podrían estar alineados es 7! maneras.

Por lo tanto la probabilidad es $$\frac{5.2.5!}{7!}$$