Pequeña confusión acerca del efecto de Aharonov-Bohm

Question

Yo soy su mayor parte consciente de la Aharonov-Bohm del efecto (AB efecto) interpretación física, así como la correspondiente matemática/diferencial interpretación geométrica.

Lo que no me confundan ligeramente, sin embargo, es la física parte de la derivación que conduce a él. Es decir, en una "heurística" de la descripción, por lo general se lleva hasta las trayectorias, es decir, que sea "un electrón va de una manera y otro de otra manera el cilindro va a recoger un cambio de fase" o un "electrón va alrededor del cilindro recogerá un cambio de fase en comparación con su valor original".

En QM no hay trayectorias, sin embargo, aunque, por supuesto, no es la ruta integral de punto de vista, y sé que el AB efecto puede ser abordado desde esta perspectiva demasiado (Sakurai, por ejemplo). Buuuut, en húngaro del libro de texto he visto una particular forma sencilla de obtener el cambio de fase.

Deje $C$ (sólido) cilindro en $\mathbb R^3$ y deje $M=\mathbb R^3\setminus C$. El colector $M$ no contráctiles, por lo que Poincaré s déjame no se aplica. En particular, si $\mathbf A$ es el vector potencial, $$ \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf A=\mathbf B=0 $$ does not imply that there exists a globally defined scalar field $\chi$ such that $\mathbf A=\boldsymbol{\nabla}\chi$.

Deje $\psi$ ser la función de onda satisface la ecuación de Schrödinger $$ i\hbar\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}D^2\psi $$ with $$ \mathbf D=\boldsymbol{\nabla}+iq\mathbf A $$ the covariant derivative. I assume the proper interpretation should be that $\psi$ simply describes the state of an electron that is diffracted on the cylinder. Let $\psi_0$ be the wave function corresponding to the case of $\mathbf A=0$.

Ahora, vamos a la partición de $M$ en dos mitades, $M^+$$M^-$, de forma que ambos dominios son contráctiles. Ya que son contráctiles, con $\mathbf B=0$, se puede elegir el calibre de las transformaciones $\chi^+$ $\chi^-$ a "apagar" $\mathbf A$. Bajando el $\pm$ signos, este indicador de la función está dada por $$ \chi(\mathbf x)=-\int_{\mathbf {x}_0}^{\mathbf{x}}\mathbf A(\mathbf y)\cdot d\mathbf y $$ where the integral is performed over any curve connecting the arbitrary initial point $\mathbf x_0$ with the target point $\mathbf x$ (como la integral es el camino independiente).

Desde $\chi$ apaga $\mathbf A$ (en una de las $M^\pm$ dominios), tenemos $$ \psi_0(\mathbf x)=e^{-\int^\mathbf x \mathbf A(\mathbf y)\cdot d\mathbf y}\psi(\mathbf x). $$

Marcha atrás, tenemos $$ \psi(\mathbf x)=e^{\int^\mathbf x \mathbf A(\mathbf y)\cdot d\mathbf y}\psi_0(\mathbf x). $$

Ahora podemos realizar este procedimiento en ambos como banalizaciones y compararlos: $$ \psi^+(\mathbf x_1)/\psi^-(\mathbf x_1)=e^{\int_{\gamma^+}^{\mathbf x_1}\mathbf A (\mathbf y)d\mathbf y}e^{-\int_{\gamma^-}^{\mathbf x_1}\mathbf A (\mathbf y)d\mathbf y}=\exp\left(\oint\mathbf A(\mathbf y)\cdot d\mathbf y\right). $$ (I have probably dropped some $q$s and $\manejadores$s en algún lugar, pero no afecta el método básico)

Pregunta:

Me estoy imaginando que si la difracción en el cilindro realmente pasa, la difracción de electrones es descrito por una función de onda $\psi$, en particular, una función de onda que es de valor único.

Si la función de onda es de valor único, entonces debemos tener un bien definidas $\psi(\mathbf x_1)$, y no podemos tener diferentes $\psi^+(\mathbf x_1)$ $\psi^-(\mathbf x_1)$ funciones de onda.

Sin embargo, a pesar de lo que la conexión de la teoría de fondo sugeriría, no hemos de calcular un transporte paralelo en realidad, sino un indicador de la transformación. Así que las dos funciones de onda necesidad de no estar de acuerdo, ya que son de diferentes calibres. Sin embargo, entonces, ¿por qué comparamos? La comparación de ellos y diciendo que difieren sería similar a la comparación de un vector en dos diferentes sistemas de coordenadas y diciendo que son diferentes, hacer que las piezas no están de acuerdo.

Así

• Si esta derivación es "correcto", entonces ¿por qué hemos de comparar las funciones de onda en diferentes calibres? En particular, ¿por qué esperamos obtener físicamente significativa los resultados de eso.

• Si la derivación es incorrecto, lo que es una manera simple de mostrar que el cambio de fase está dada por $\oint A$, que no depende de la ruta de las integrales?

Answer 1

Esta "derivación" hits quejas de la mía, que es que la matemática tratamientos de topológico fases persistentemente confundir el cambio de fase resultante de un proceso físico con el resumen, físicamente sin sentido fases calculadas por el cegamiento de conectar ecuaciones en cada uno de los otros.

Física y Formal de las Fases

El Aharanov-Bohm efecto no es el peor ejemplo; que el premio va a anyons. Anyons recoger una fase de $e^{i \phi}$ cuando sus posiciones son físicamente intercambiados, es decir, cuando dos de ellos se recogen y se intercambia por un experimentales, suponiendo que no hay ningún extra campos externos, la anyons se mueven lentamente, y así sucesivamente. Sin embargo, este es persistentemente confundirse con la fase en que los resultados de formalmente intercambio de dos variables en el cuerpo de la función de onda, $$\psi(x_1, x_2, \ldots) = e^{i \theta} \psi(x_2, x_1, \ldots).$$ Es trivial para probar esta fase oficial siempre es $\pm 1$ en cualquier dimensión, llevando incluso muy capaces a los matemáticos afirman que anyons no puede existir. La mayoría de introducción de la mecánica cuántica libros que intentan tratar anyons, precisamente de este error, y después de murmurar algo incorrecto acerca de la topología de permitir la fase oficial a diferir de $\pm 1$. Es un lío. (Para un buen tratamiento, consulte aquí.)

Del mismo modo, el Aharanov-Bohm fase es el hecho de que una partícula se recoge un extra de fase $e^{i \theta}$ al ser transportados alrededor de un flujo. Es fácil ver que tanto la Aharanov-Bohm y anyon fase provienen de si el uso de la ruta integral. Matemáticamente mentalidad de los estudiantes a menudo descartar este argumento, basado en las trayectorias, como la "heurística", pero este pierde el punto, porque la física de la situación es explícitamente acerca de las trayectorias. Usted no puede ver fácilmente el cambio de fase entre dos trayectorias si usted utiliza el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger.

Si no te gusta el camino integral, también se puede derivar de estas fases con el teorema adiabático: trampa de una partícula en una caja en la ubicación de $\mathbf{R}$ y el transporte de la caja de todo el flujo. El indicador de conexión de $\mathbf{A}$ funciones, precisamente, como las Bayas de conexión en los estados $|\mathbf{R} \rangle$, y en la derivación a continuación procede exactamente de la misma manera como el formal, el haz de fibras derivación a continuación. Tenga en cuenta que en la ruta de acceso integral y el teorema adiabático requieren explícitamente que el transporte va a ser lenta. En el primer caso, es para evitar el coger $\int \mathbf{p} \cdot d \mathbf{x}$ fases, y en el último caso es una condición del teorema adiabático.

Una Correcta Haz De Fibras Derivación

El argumento que dio basa en la comparación de wavefunctions en dos diferentes calibres, lo que es físicamente sin sentido. Aquí está una correcta derivación.

Como usted sabe, podemos describir el medidor de campo en términos de una $U(1)$-paquete de más de $M$. Todos los paquetes son triviales, que es la razón por la mayoría de los cursos no hablar de ellos, solo hace las cosas más complicadas. Sin embargo, supongamos que hemos elegido utilizar haces de todos modos y cubiertos $M$ con dos parches. Entonces podemos calcular la fase recogido por el transporte de una partícula alrededor de el flujo de la siguiente manera.

• Dentro de la primera revisión, integrar $\int \mathbf{A} \cdot d\mathbf{x}$.
• Cuando la partícula pasa desde el primer parche para el segundo, añadir una fase para dar cuenta de la transición de la función entre los parches.
• En el segundo parche, integrar $\int \mathbf{A} \cdot d \mathbf{x}$.
• Cuando la partícula pasa de la segunda revisión a la primera, agregar otra función de transición de fase.

Ya que el paquete es trivial, la transición de las funciones puede ser elegido para ser trivial, reduciendo a la no-paquete de formalismo. Sin embargo, también podríamos elegir para medir la distancia de la conexión dentro de cada parche. Entonces la partícula recoge ninguna de las fases, ya que es paralelo transportados a través de los parches (de nuevo, suponiendo que se está moviendo lentamente, sin más campos externos, ignorando la dinámica de fases, etc.) pero no recoger las fases, desde la no-trivial de transición de funciones. Por supuesto, ya que la respuesta es una cantidad física, que será el mismo calculado de cualquier manera. El texto acaba esto de forma explícita.

El uso de la Falsa Derivación

La comparación de wavefunctions en dos diferentes calibres no tiene nada que ver con el proceso físico en el Aharanov-Bohm efecto, pero el texto obtiene la respuesta correcta, básicamente, por accidente; sólo hay una respuesta que posiblemente podría obtener en esta simple situación. Por suerte, el texto del programa de instalación es útil para una cosa diferente: encontrar el espectro de las partículas en un anillo.

Supongamos que una partícula esté limitado a un anillo, a través de la cual un flujo pasa. Si no hay flujo, la energía autoestados sería $$\psi_n(\theta) \propto e^{i n \theta}, \quad E_n \propto n^2.$$ Ahora supongamos que el flujo está activado, dando un Aharanov-Bohm fase de $e^{i \phi}$. Generalmente, para obtener el espectro que tiene que resolver la ecuación de Schrödinger con un vector potencial, pero el uso de la fibra paquete de instalación podemos ponerlo a cero en cada parche. Suponiendo que hemos creado uno de la transición de las funciones de ser trivial, y dejar que el otro parche intersección ser en $\theta = 0$, tenemos $$\lim_{\theta \to 0^+} \psi_n(\theta) = e^{i \phi} \lim_{\theta \to 2\pi^-} \psi_n(\theta)$$ donde $\psi_n(\theta)$ satisface la ecuación de Schrödinger para el vector cero de potencial. (Por supuesto, la función de onda sigue siendo de un solo valor, siempre y cuando se recuerde que sólo tiene sentido comparar a sí mismo dentro de un parche.) Entonces tenemos $$\psi_n(\theta) \propto e^{i (n - \phi/2\pi) \theta}, \quad E_n \propto (n - \phi/ 2 \pi)^2$$ lo que da un cambio medible en el espectro. Este es un caso donde usted desea que el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger, no la ruta integral de trayectorias, pero eso es porque la física es completamente diferente.

Answer 2

El original de Bohm-Aharonov proplem [Y. Aharonov y D. Bohm Phys. Apo. 115, 485 (1959)] es acerca de dispersión de electrones de un solenoide. Que dar una buena solución a la ecuación de Schrödinger como una suma de Besssel funciones que es divertido parcela:

La imagen es la parte real de la función de onda para el caso de 1/4 de unidad de flujo a través del solenoide. Ola entrante desde la derecha. El B-Un cambio de fase de los resultados en el abajo arriba y de abajo wavecrests ser compensado por 1/4 de longitud de onda. La función de onda en sí está en todas partes solo valor, aunque.

Answer 3

Si la derivación es incorrecto, lo que es una manera simple de mostrar que el cambio de fase está dada por , que no depende de la ruta de las integrales?

Mientras que el AB cambio ha sido confirmado experimentalmente muchas veces, yo creo que todos los derivados de los efectos físicos (cambio) basado en argumentos matemáticos acerca de $\mathbf A$ fuera del solenoide son poco convincentes, quizás completamente inválida.

El gran problema es que todas esas derivaciones asumir ese bucle integral a lo largo del bucle de $\partial S$ alrededor de la bobina es igual a flujo magnético a través de la superficie de la $S$ que es definido por el bucle:

$$ \oint_{\parcial S} \mathbf A \cdot d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf B\cdot d\mathbf S~~~(1) $$

Si bien esto es cierto para el vector potenciales considerados en la mayoría de las situaciones analizadas en los libros de texto de física, no es necesario que la propiedad de un vector potencial. Las únicas condiciones que restringen el vector potencial en la teoría EM son $$ \mathbf B = \nabla \times \mathbf Una, $$ $$ \mathbf E + \nabla \varphi = -\partial_t \mathbf A. $$

De la primera condición, la fórmula (1) se puede derivar, pero sólo si $\mathbf A$ se porta bien en todos los puntos de la superficie (incluyendo la superficie y en el interior del solenoide). Si no (si es que hay una discontinuidad o singularidad), la derivación se produce un error. En consecuencia, no son válidas las funciones de $\mathbf A(\mathbf x)$ que, cuando se integran fuera del solenoide, no obedecen a (1).

Por ejemplo, hay una función de $\mathbf A_0(\mathbf x)$ que se desvanece fuera del solenoide (lo que da $\nabla \times \mathbf A = 0$ trivialmente) y sólo es distinto de cero en el interior del solenoide. También tiene, necesariamente, la discontinuidad en la superficie de la solenoide (o, existe otra función que es continua en toda la superficie, pero luego tiene una singularidad en el interior del solenoide). Por lo que la relación $\mathbf B=\nabla \times \mathbf A$ falla en la superficie de la solenoide, pero eso es cierto para todas las funciones, incluyendo el estándar de uno, si la distribución de corriente en la superficie del solenoide es infinitamente delgada.

Estos detalles no deben influir en la solución a la ecuación de Schroedinger si el solenoide es modelada como un potencial infinito de la barrera (hay que reconocer que esto no es muy claro y tal vez hay un efecto de la discontinuidad o singularidad, incluso a través de las infinitas potencialidades de la pared...).

Es sólo cuando nos restringir el vector potencial de la familia que tiene un no-cero bucle integral que podemos conseguir cualquier efecto de flujo magnético en el $\psi$ función.

Por estas razones, creo que es bueno, ya sea 1) buscar algún argumento de por qué sólo ciertas vectores potenciales son permitidos (que no parece probable que sea muy fructífera, teniendo en cuenta que ellos son sólo herramienta auxiliar para obtener el campo físico) o 2) buscar otras explicaciones, preferentemente aquellos que no se basan en la propiedad especial de vector potencial.

Ha habido algunos trabajos interesantes sobre la posibilidad de la explicación clásica de la BA turno, véase, por ejemplo, los papeles de Timothy Boyer, quien argumenta que no es clásica EM interacción entre los electrones y el metálico solenoide que sugiere que la explicación podría ser mucho más clásica y no se requieren propiedades especiales del vector potencial:

https://philpapers.org/rec/BOYCEA

https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1003602524894