Mostrar un isomorfismo

Question

Si $N,M$ son subgrupos normales de $G$ entonces $\frac{NM}{M} \simeq \frac{N}{N\cap M}$ He estado tratando de construir una función de $N$ a $\frac{NM}{M}$ y mirando es kernel, pero estoy.luchando en lo que $\frac{NM}{M}$ parece

Answer 1

La idea es muy buena.

En primer lugar se puede observar que $NM=\{xy:x\in N, y\in M\}$ . Claramente, el lado derecho es un subconjunto de $NM$ y contiene tanto $N$ y $M$ . Por otro lado, un producto de la forma $(x_1y_1)(x_2y_2)$ con $x_1,x_2\in N$ y $y_1,y_2\in M$ se puede reescribir como $$ \underbrace{x_1\underbrace{(y_1x_2y_1^{-1})}_{\in N}}_{\in N} \underbrace{(y_1y_2)}_{\in M} $$ de lo que se deduce fácilmente que el lado derecho es cerrado bajo productos. También es cerrado bajo inversos, porque, para $x\in N$ y $y\in M$ , $$ (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}= \underbrace{y^{-1}xy}_{\in N} y $$ Por lo tanto, el lado derecho es un subgrupo de $G$ que contiene tanto $N$ y $M$ por lo que coincide con $NM$ .

En particular, un elemento de $NM/M$ es de la forma $xyM=xM$ , para $x\in N$ y $y\in M$ .

Por lo tanto, el homomorfismo surjetivo $N\to NM/M$ que está buscando es $$ x\mapsto xM $$ cuyo núcleo es $$ \{x\in N:x\in M\}=N\cap M $$ El teorema del homomorfismo muestra ahora $N/(N\cap M)\cong NM/M$ .

Tenga en cuenta que no es necesario suponer $M$ es normal en $G$ pero sólo un subgrupo; sólo la normalidad de $N$ es necesario.

Answer 2

En particular, $NM=\{nm \, | \, n \in N \text{ and } m \in M\}$ , por lo tanto el conjunto cociente (en este caso grupo cociente ya que las cosas se dan por normales) $$NM/M=\{n\color{red}{mM} \, | \, n \in N \text{ and } m \in M\}=\{nM \, | \, n \in N\}$$

Ahora empieza con $N \longrightarrow NM/M$ utilizando el mapa $\phi(n)=nM$ (por lo que está enviando un elemento de $N$ al subconjunto al que pertenece). Es fácil ver que se trata de un homomorfismo sobreyectivo con núcleo $N \cap M$ (¡compruébelo usted mismo!). Ahora aplica el primer teorema de isomorfismo.

Answer 3

Dejemos que $\pi: G \to G/M$ sea la proyección canónica con núcleo exactamente $M$ . Desde $\pi$ es suryente, $\pi\restriction_N: N \to \pi(N)$ es suryente. Por el primer teorema de isomorfismo,

$$ \pi(N) \simeq N/\ker{\pi\restriction_N} = N/(\ker \pi \cap N) = N/(M \cap N) $$

Por otro lado, podemos restringir el codominio, dando otro morfismo surjetivo,

$$ \pi \restriction^{\pi(N)} : \pi^{-1}(\pi(N)) \to \pi(N) $$

y como $M = \ker \pi \subseteq \pi^{-1}(\pi(N))$ entonces $\ker \pi\restriction^{\pi(N)} = M$ . Además, tenemos que $\pi^{-1}(\pi(N)) = NM$ . En efecto, desde

$$ \pi(NM) = \pi(N)\cdot \{1\} = \pi(N) $$

vemos que $NM \subseteq \pi^{-1}(\pi(N))$ y la otra inclusión viene dada por el hecho de que, si $\pi(x) \in \pi(N)$ existe $n \in N$ con $\pi(x) = \pi(n)$ y así $xn^{-1} \in \ker\pi = M$ lo que implica $x \in M\cdot n \subseteq MN$ . Así, una vez más, por el primer teorema de isomorfismo,

$$ NM/ M \simeq \pi(N) $$

y así

$$ NM/M \simeq\pi(N) \simeq N/(M\cap N) $$

como se desee.